Phần bù rủi ro phương sai: tách số liệu quá khứ, dự báo tương lai và lãi lỗ đáo hạn

Mức biến động hàm ý 20% trông có vẻ đắt so với biến động lịch sử 15,87%. Nhưng bên bán không được trả tiền chỉ vì hai con số cách nhau. Họ nhận một mức giá hôm nay và chịu kết quả biến động của tương lai. Muốn đánh giá phần bù rủi ro phương sai, cần tách ba việc: đo điều đã xảy ra, dự báo điều chưa xảy ra và tính khoản tiền cuối cùng theo đúng hợp đồng.

Khoảng cách 148 điểm chưa phải khoản lợi nhuận có thể thu về

Giả sử 20 lợi suất logarit ngày trong quá khứ gồm mười cặp +0,01 và −0,01. Tổng bình phương là 0,0020. Nhân với hệ số quy đổi năm 252÷20 cho phương sai dạng thập phân 0,0252, tương ứng 252 điểm phương sai theo quy ước sẽ dùng dưới đây. Biến động năm tương ứng là 15,874508%.

Hôm nay, giả định mức phương sai được thỏa thuận là 400 điểm, tương đương biến động năm 20% vì 20²=400. Chênh lệch so với quá khứ là 148 điểm phương sai. Nếu trừ trực tiếp hai mức biến động, kết quả lại là khoảng 4,125492 điểm phần trăm. Hai đơn vị không thể thay thế nhau và đều chưa phải tiền mặt.

Quan trọng hơn, một số hướng tới tương lai còn số kia nhìn về khoảng thời gian đã kết thúc. Chỉ khi chủ động chọn “phương sai quá khứ là dự báo cho kỳ tới”, 148 mới trở thành ước tính phần bù trong mô hình đó. Đồ thị yên ắng không tự chứng minh lựa chọn ấy đúng. Thay đổi cách đánh giá khả năng xảy ra biến động lớn có thể đảo ngược kết luận dù dữ liệu lịch sử không đổi.

Hai loại kỳ vọng phải cùng nói về một khoảng tương lai

Bài này dùng quy ước phần bù dương là E^Q[RV tương lai]−E^P[RV tương lai], với RV là phương sai thực tế của cùng khoảng quan sát. Q là trọng số dùng để định giá; P là xác suất thực tế hoặc thống kê dùng cho dự báo. Chúng không phải hai nhãn tăng giá và giảm giá. Kỳ vọng có điều kiện theo P không quan sát trực tiếp được mà phải ước tính bằng thông tin có tại thời điểm dự báo.

Với hợp đồng lý tưởng có giá trị ban đầu bằng không, nếu mức phương sai thỏa thuận K bằng kỳ vọng Q của cùng đại lượng, K trừ dự báo RV mới tương ứng phần bù theo quy ước trên. Giá thực thi, tài trợ, tài sản bảo đảm, tín dụng và cách quan sát rời rạc có thể đòi hỏi điều chỉnh. Không mặc định biến động hàm ý của một quyền chọn ngang giá hay bình phương VIX là mức K thực sự có thể bán.

Để tính rõ dòng tiền, xét một mức phơi nhiễm phương sai giả định bắt đầu hôm nay, quan sát 20 lợi suất ngày tương lai rồi thanh toán chênh lệch cuối kỳ. Đây không phải tuyên bố có một hợp đồng 20 ngày như vậy đang niêm yết. Từ 21 mức giá, tính r_i=ln(P_i/P_(i−1)) ở dạng thập phân. Phương sai điểm bằng 10.000×(252÷20)×Σr_i². Không trừ trung bình và không dùng mẫu số 19: đây là định nghĩa đại lượng thanh toán, không phải phép ước lượng độ lệch chuẩn mẫu.

Đặt K=400 và tổng mức phơi nhiễm 100 USD cho mỗi điểm phương sai. Con số 100 không phải vốn đầu tư hay khẳng định về hệ số nhân của một hợp đồng thật. Giả sử lãi suất bằng không, không điều chỉnh tín dụng và trước hết chưa tính chi phí, lãi lỗ gộp của bên bán là 100×(400−RV điểm); bên mua có dấu ngược lại. 400 cũng không phải lợi suất 400% hoặc phí quyền chọn 400 USD.

Giá trở về 100 không xóa phần biến động đã đi qua

Đường giá A gồm mười cặp lợi suất logarit +0,01 và −0,01. B có chín cặp như vậy trong 18 ngày đầu, rồi hai ngày cuối lần lượt −0,08 và +0,08. Cả hai bắt đầu ở 100, ngày 18 ở 100 và kết thúc ở 100. Hai lợi suất lớn của B tương ứng mức giảm thông thường khoảng 7,688365% rồi tăng khoảng 8,328707%, không phải giảm 8% rồi tăng 8% theo cách tính đơn giản.

Phương sai B bằng 10.000×(252÷20)×(18×0,01²+2×0,08²)=1.839,6 điểm. Hồi phục toàn bộ giá sau cú giảm không xóa hai bình phương lợi suất khỏi tổng. Bên bán có lãi gộp 14.800 USD trong A nhưng lỗ gộp 143.960 USD trong B, trong khi lợi suất nắm giữ tài sản cơ sở bằng 0% ở cả hai.

Chỉ các mức giá ngày đã chỉ định được dùng; ví dụ không cộng toàn bộ dao động cao thấp trong ngày. Nếu hợp đồng thật quan sát ở tần suất khác hoặc dùng mức giá chốt khác, kết quả có thể thay đổi. Hai đường giá này minh họa hai kết quả phương sai, không mô tả đầy đủ mọi trạng thái của một quá trình giá cổ phiếu có thể giao dịch. Không thể từ đó suy ra một chứng minh không có cơ hội kinh doanh chênh lệch giá hay xác suất Q đã hiệu chỉnh từ thị trường.

Dự báo thay đổi dù lịch sử và giá thỏa thuận giữ nguyên

Đặt một mô hình dự báo riêng chỉ cho RV tương lai: kết quả 252 điểm có xác suất 1−q, còn 1.839,6 điểm có xác suất q. q là đầu vào giả định để kiểm tra độ nhạy, không phải xác suất thực đã đo được từ 20 ngày quá khứ.

Phương sai dự báo là 252+1.587,6q; chênh lệch K trừ dự báo là 148−1.587,6q. Chi phí 1.000 USD trong bảng là tổng chi phí cố định giả định phục vụ phép tính, không phải biểu phí của một sở giao dịch.

Với q=5%, lãi lỗ gộp kỳ vọng bằng 0,95×14.800+0,05×(−143.960)=6.862 USD. Với q=10%, con số thành −1.076 USD. Cùng dữ liệu lịch sử và cùng K nhưng đánh giá khác về khả năng phương sai lớn dẫn tới hai kết luận trái dấu. Chỉ nhìn khoảng cách giữa 15,87% và 20% sẽ bỏ lỡ thay đổi quan trọng này.

6.862 USD là bình quân theo xác suất, không phải số tiền sẽ chắc chắn nhận trong giao dịch lần này. Ngay trong mô hình 5%, kết quả lỗ gộp 143.960 USD vẫn có thể xảy ra. Cũng không được gọi căn bậc hai của phương sai kỳ vọng là kỳ vọng của biến động: lấy căn và lấy bình quân xác suất theo hai thứ tự thường cho kết quả khác nhau.

Ngưỡng đổi dấu phải được tính lại sau chi phí

Trong mô hình, lãi lỗ gộp kỳ vọng dương khi q<148÷1.587,6, tức dưới khoảng 9,322247%; tại dấu bằng, kỳ vọng gộp bằng không. Với mức phơi nhiễm 100 USD mỗi điểm, chi phí 1.000 USD tương ứng 10 điểm phương sai. Điều kiện kỳ vọng sau chi phí dương trở thành q<(148−10)÷1.587,6, tức khoảng 8,692366%.

Đây không phải giới hạn an toàn chung của thị trường. Thay đổi hai kết quả phương sai hoặc K sẽ làm đổi ngưỡng trước chi phí. Chỉ tăng quy mô vị thế dương theo tỷ lệ không đổi ngưỡng này; nhưng với tổng chi phí cố định 1.000 USD, chi phí trên mỗi đơn vị vị thế sẽ ảnh hưởng ngưỡng sau chi phí. Cường độ biến động lớn hơn hoặc K bán được thấp hơn có thể làm kỳ vọng xấu đi dù q giữ nguyên. Cần thử cả xác suất lẫn độ lớn của kết quả bất lợi, không chỉ chọn một tỷ lệ trông nhỏ.

Trừ chi phí giả định, A còn +13.800 USD và B thành −144.960 USD. Một lần lời không chứng minh mô hình dự báo đúng; một lần lỗ cũng không đủ bác bỏ ngay một kỳ vọng dài hạn dương. Phải phân biệt sai số của một kết quả với sai lệch có hệ thống trong dự báo. Mức 100 USD mỗi điểm không phải vốn đã đầu tư, nên không dùng nó làm mẫu số để báo tỷ suất sinh lời.

Sai công cụ hoặc sai cửa sổ quan sát sẽ làm phép so sánh mất nghĩa

Bán một quyền chọn, bán đồng thời quyền chọn mua và quyền chọn bán cùng giá thực hiện và ngày đáo hạn, hay điều chỉnh delta của danh mục đều chịu ảnh hưởng của hướng giá, gamma, chi phí và việc phòng hộ rời rạc. Không được gán trực tiếp công thức thanh toán tuyến tính theo phương sai ở đây cho các chiến lược đó. Dòng tiền ký quỹ hằng ngày, tài sản bảo đảm và nhu cầu vốn giữa kỳ cũng khác lợi nhuận cuối cùng.

Mô hình bắt đầu trước cả 20 quan sát tương lai. Hợp đồng đã đi qua một phần thời gian phải tách phần phương sai biết rồi khỏi phần còn lại. Với các ngày đáo hạn khác nhau, cần đồng nhất cửa sổ quan sát trước khi suy ra phương sai kỳ hạn. Cùng được quy đổi năm không có nghĩa hai số phản ánh cùng ngày và cùng sự kiện.

Hợp đồng thực có thể quy định riêng giá cuối cùng, ngày thiếu báo giá hoặc gián đoạn thị trường. Không tùy ý xóa ngày thiếu rồi thay số quan sát, cũng không lấy chỉ báo biến động lịch sử trong phần mềm thay cho RV theo điều khoản. Nếu chỉ biết giá giữa bên mua và bán, chưa thể coi đó là mức thực thi đã được xác nhận cho khối lượng cần giao dịch.

Năm bước kiểm tra một lập luận bán phương sai

1. Khóa đúng công cụ, ngày bắt đầu và kết thúc, thời điểm lấy giá và quy tắc thanh toán. Xác định phần nào còn ở tương lai, phần nào đã được quan sát.
2. Thống nhất lợi suất logarit hay đơn giản, hệ số năm và đơn vị phương sai. Để riêng chênh lệch biến động, điểm phương sai và tiền mặt.
3. Ghi tách lịch sử và dự báo, cố định thông tin đã có cùng phương pháp tại ngày ra quyết định. q chưa có cơ sở thực nghiệm phải được ghi rõ là giả định.
4. Tính tiền bằng giá thực thi đúng chiều, tổng mức phơi nhiễm và chi phí. Thay đổi xác suất cùng quy mô cú biến động để tìm điều kiện đảo dấu.
5. Sau đáo hạn, đối chiếu RV và tiền thực tế với dự báo ban đầu. Kiểm tra cuốn chiếu ngoài mẫu, không đưa dữ liệu tương lai vào dự báo cũ, để tách lỗi mô hình khỏi chi phí thực thi và khác biệt điều khoản.

Phần có thể kiểm chứng không nằm ở câu “biến động hàm ý cao hơn lịch sử”. Nó nằm ở một dự báo cùng kỳ hạn, một mức giá có thể giao dịch thực tế và một phép tính tiền có cả kết quả bất lợi. Đó mới là cơ sở để đánh giá khoản bù đắp kỳ vọng.