คำนวณดอกเบี้ยพันธบัตรรัฐบาลสหรัฐแบบลอยตัว: จากอัตราประมูลสู่เงินรับจริง

เมื่อทราบผลประมูลตั๋วเงินคลังสหรัฐอายุ 13 สัปดาห์ครั้งล่าสุด เราคำนวณดอกเบี้ยที่พันธบัตรอัตราลอยตัวจะจ่ายในไตรมาสนี้ได้ทันทีหรือไม่? ยังต้องทำอีกสองขั้นตอน คือแปลงอัตราคิดลดจากการประมูลให้เป็นอัตราอ้างอิงของพันธบัตร แล้วจับคู่อัตรานั้นกับวันที่มีผลจริง อัตราที่เห็นก่อนวันจ่ายเงินไม่ได้ใช้ย้อนหลังครอบคลุมทั้งงวด

ตัวอย่างสมมติต่อไปนี้ใช้มูลค่าที่ตราไว้ 100,000 ดอลลาร์และงวดดอกเบี้ย 92 วัน ยอดที่ถูกต้องคือ 1,127.56 ดอลลาร์ หากใช้อัตราคิดลดโดยไม่แปลงจะได้ 1,115.83 ดอลลาร์ แต่ถ้าใช้อัตราคิดดอกเบี้ยสุดท้ายกับทุกวันจะเหลือ 966.78 ดอลลาร์ ส่วนต่างสองแบบนี้เกิดจากคนละสาเหตุ จึงไม่ควรรีบสรุปว่าผู้จ่ายเงินจ่ายขาดก่อนตรวจขั้นตอนคำนวณ

แยกอัตราประมูล อัตราอ้างอิง และส่วนเพิ่มคงที่

บทความนี้กล่าวถึงพันธบัตรอัตราดอกเบี้ยลอยตัวของกระทรวงการคลังสหรัฐ หรือ FRN ที่อ้างอิงการประมูลตั๋วเงินคลัง 13 สัปดาห์ ไม่ใช่หุ้นกู้บริษัทที่ใช้อัตราข้ามคืนชนิดอื่น พันธบัตรนี้มีอายุสองปีและจ่ายดอกเบี้ยทุกไตรมาส แม้การประมูลตั๋วเงินคลังโดยทั่วไปเกิดขึ้นทุกสัปดาห์ แต่ดอกเบี้ยพันธบัตรคำนวณตามวันปฏิทิน การจ่ายรายไตรมาสจึงไม่ได้หมายถึงปรับอัตราเพียงไตรมาสละครั้ง

อัตราคิดลดสูงสุดที่ได้รับการจัดสรรในการประมูล วัดส่วนลดของตั๋วเงินคลังโดยใช้มูลค่าเมื่อครบกำหนดเป็นฐาน ส่วนอัตราอ้างอิงของ FRN ต้องแปลงเป็นผลตอบแทนตลาดเงินแบบดอกเบี้ยไม่ทบต้น บนฐานวันจริงหาร 360 ก่อน แล้วจึงบวกส่วนเพิ่มคงที่ที่กำหนดตอนออกพันธบัตรครั้งแรก การประมูลตั๋วเงินครั้งใหม่ไม่ได้เปลี่ยนส่วนเพิ่มตามสัญญาของพันธบัตรเดิม

อัตราผลตอบแทนการลงทุนอีกช่องหนึ่งในผลประมูลตั๋วเงินก็ไม่ควรนำมาแทนอัตราอ้างอิงโดยตรง เพราะใช้ฐานแปลงเป็นรายปีต่างกัน ขณะเดียวกัน ส่วนต่างที่ใช้คิดลดเพื่อกำหนดราคาในการออกพันธบัตรรุ่นเดิมเพิ่ม เป็นข้อมูลด้านราคา ไม่ใช่ส่วนเพิ่มคงที่ชุดใหม่ การรู้ว่าตัวเลขแต่ละช่องทำหน้าที่อะไรสำคัญกว่าการเลือกตัวเลขที่ดูใกล้เคียงกัน

ทำไมอัตราคิดลด 4.500% จึงกลายเป็น 4.551776457%

ให้ d เป็นอัตราคิดลดรายปีในรูปทศนิยม n เป็นจำนวนวันจริงจนตั๋วเงินครบกำหนด และ P เป็นราคาต่อมูลค่าที่ตราไว้ 100 ดอลลาร์ ราคาคือ P = 100 × (1 − d × n / 360) เมื่อนำส่วนต่างระหว่างมูลค่าครบกำหนดกับราคาซื้อ หารด้วยราคาซื้อแทนมูลค่าครบกำหนด และแปลงเป็นรายปีบนฐาน 360 วัน จะได้อัตราอ้างอิง r

r = (100 − P) / P × 360 / n = d / (1 − d × n / 360).

สมมติ n = 91 และ d = 0.045 ราคาตั๋วเงินเท่ากับ 98.862500 อัตราอ้างอิงเมื่อปัดในหน่วยเปอร์เซ็นต์ให้เหลือทศนิยมเก้าตำแหน่งคือ 4.551776457% หากส่วนเพิ่มคงที่สมมติเท่ากับ 0.150% หรือ 15 จุดเบส อัตรารายปีที่ใช้คิดดอกเบี้ยจะเป็น 4.701776457% ตัวเลขทั้งหมดเป็นเงื่อนไขเพื่ออธิบายการคำนวณ ไม่ใช่ผลประมูลจริง

แถว C มีไว้ทดสอบช่วงตรึงอัตราในภายหลังเท่านั้น ไม่ใช่ช่วงอัตราที่สามของดอกเบี้ยหลัก ราคาตั๋วเงินทั้งสามรายการถูกเลือกให้แสดงได้ตรงด้วยทศนิยมไม่เกินหกตำแหน่ง จึงไม่ต้องนำปัญหาปัดเศษราคาขั้นกลางมารวมด้วย สำหรับการตรวจรายการจริงควรใช้อัตราอ้างอิงรายวันที่ประกาศและอายุวันจริงของตั๋วเงิน ไม่กรอก 91 วันอัตโนมัติเพียงเพราะชื่อรุ่นระบุ 13 สัปดาห์

อย่าลืมเปลี่ยนหน่วยเปอร์เซ็นต์ก่อนเข้าสูตรเงิน อัตรา 4.551776457% ต้องใช้เป็น 0.04551776457 การเก็บเก้าตำแหน่งในหน่วยเปอร์เซ็นต์ไม่เท่ากับการเก็บเก้าตำแหน่งของอัตราในรูปทศนิยม แม้แสดงตัวเลขละเอียดมาก การใช้หน่วยผิดก็ยังทำให้ผลลัพธ์ผิดได้

รวมดอกเบี้ย 92 วันโดยไม่เพิ่มดอกเบี้ยเข้าเงินต้น

สมมติงวดดอกเบี้ยเต็มมี 92 วันปฏิทิน และมูลค่าที่ตราไว้คงที่ 100,000 ดอลลาร์ บันทึกอัตราที่มีผลกำหนดให้ 63 วันแรกใช้ A และ 29 วันหลังใช้ B สองช่วงนี้หมายถึงอัตราที่ไม่เปลี่ยนภายในแต่ละช่วง ไม่ใช่หมายความว่าทั้งไตรมาสมีการประมูลเพียงสองครั้ง การประมูลหลายสัปดาห์ติดต่อกันอาจได้อัตราคิดลดเท่ากัน

ดอกเบี้ยหนึ่งวันเท่ากับมูลค่าที่ตราไว้ คูณค่าที่มากกว่าระหว่างผลรวมอัตราอ้างอิงกับส่วนเพิ่มและศูนย์ แล้วหาร 360 จากนั้นรวมจำนวนเงินของทุกวัน ไม่เพิ่มดอกเบี้ยที่เกิดวันนี้เข้าเป็นเงินต้นสำหรับวันพรุ่งนี้ การสะสมรายวันจึงไม่ใช่การทบต้นรายวัน โดยนับวันแรกของงวดแต่ไม่นับวันจ่ายดอกเบี้ยครั้งถัดไปหรือวันครบกำหนด และยังนับวันหยุดสุดสัปดาห์ที่อยู่ภายในงวด

ช่วงแรกให้ดอกเบี้ย 822.810879975 ดอลลาร์ ช่วงหลังให้ 304.746568794 ดอลลาร์ รวม 1127.557448769 ดอลลาร์ หรือแสดงถึงเซนต์เป็น 1,127.56 ดอลลาร์ หากนำอัตราสุดท้าย 3.783060854% คูณ 100,000 × 92/360 จะได้เพียง 966.782218244 ดอลลาร์ เพราะลบช่วง 63 วันแรกที่เคยมีอัตราสูงกว่าออกไป จึงคำนวณขาดประมาณ 160.78 ดอลลาร์

อีกวิธีที่ผิดยังแยก 63 และ 29 วันถูกต้อง แต่ใช้ 4.500% และ 3.600% ซึ่งเป็นอัตราคิดลดที่ยังไม่แปลง แล้วบวกส่วนเพิ่มทันที ผลคือ 1115.833333333 ดอลลาร์ ขาดประมาณ 11.72 ดอลลาร์ ความผิดแบบแรกคือการจับคู่อัตรากับเวลา ส่วนแบบที่สองคือฐานที่ใช้คำนวณผลตอบแทน การแก้จำนวนวันเพียงอย่างเดียวไม่ช่วยแก้อัตราที่ใส่ผิดชนิด

จำนวนเงินที่ปัดถึงเซนต์ในที่นี้มีไว้ให้อ่านง่าย ไม่ได้กำหนดวิธีปัดเศษทุกขั้นตอนของผู้จ่ายเงินจริง เวลาตรวจบัญชีต้องเก็บค่าระหว่างทางก่อนปัด แล้วเทียบกับลำดับการคำนวณที่ใช้จริง หากปัดดอกเบี้ยของแต่ละวันเป็นสองตำแหน่งก่อนรวม อาจสร้างส่วนต่างขึ้นมาเอง

ช่วงตรึงอัตราอาจทำให้ผลประมูลใหม่ยังไม่เข้าเงินงวดนี้

ตามปกติอัตราอ้างอิงจะเปลี่ยนในวันปฏิทินถัดจากการประมูลตั๋วเงิน แต่ก่อนวันชำระราคาการออกพันธบัตรของกระทรวงการคลัง รวมการออกเพิ่มในรุ่นเดิม หรือก่อนวันจ่ายดอกเบี้ย จะมีช่วงตรึงสองวันทำการ ผลประมูลที่เกิดในช่วงนี้ถูกกันออกจากการคำนวณเงินชำระราคา ณ วันออกพันธบัตรหรือดอกเบี้ยที่เกี่ยวข้อง ไม่ใช่ว่าการซื้อขายทุกครั้งในตลาดรองจะเริ่มช่วงตรึงใหม่

ลองแยกทดสอบเรื่องเวลาโดยสมมติว่าการประมูล C อยู่ในช่วงตรึง และถ้าไม่มีข้อจำกัดนี้จะมีผลต่อวันคิดดอกเบี้ยสุดท้ายเพียงวันเดียว วันนั้นยังต้องใช้ B สำหรับเงินงวดปัจจุบัน หากเปลี่ยนเป็น C เร็วเกินไปจะบวกเพิ่ม 15.624250181 − 10.508502372 ดอลลาร์ หรือประมาณ 5.12 ดอลลาร์ ทำให้ได้ดอกเบี้ยผิดเป็น 1,132.67 ดอลลาร์

ส่วนต่างนี้ใช้กับสมมติฐานหนึ่งวันที่ระบุไว้ ไม่ใช่สูตรปรับสองวันสำหรับทุกช่วงตรึง สองวันทำการอาจไม่เท่ากับสองวันปฏิทิน ต้องตรวจวันประมูล วันหยุด และตารางจ่ายเงินกับอัตรารายวันของรหัสหลักทรัพย์ที่ถูกต้อง การเปลี่ยนอัตราที่ถูกเลื่อนออกไปไม่ใช่เหตุให้ย้อนกลับไปแก้ดอกเบี้ยของวันที่ผ่านมาแล้ว ตัวอย่างไม่ได้สร้างวันเดือนปีจริงหรือเดาวันเริ่มใช้อัตราหลังสิ้นสุดช่วงตรึง

ผู้ซื้อกลางงวดได้รับดอกเบี้ยเต็มจำนวน แต่ไม่ได้หาได้ทั้งหมด

สมมติผู้ซื้อชำระราคาเมื่อเริ่มวันที่ 64 ดอกเบี้ยค้างรับของ 63 วันก่อนหน้าประมาณ 822.81 ดอลลาร์เป็นส่วนที่ผู้ซื้อต้องจ่ายไปพร้อมการรับพันธบัตร เมื่อถึงวันจ่ายดอกเบี้ยจะได้รับเต็ม 1,127.56 ดอลลาร์ แต่เมื่อหักส่วนค้างรับที่จ่ายไปแล้ว ดอกเบี้ยที่เป็นของช่วงถือครอง 29 วันของตนมีประมาณ 304.75 ดอลลาร์ ก่อนภาษีและค่าใช้จ่าย เงินเข้าบัญชีจึงไม่เท่ากับรายได้ใหม่ทั้งหมดนับตั้งแต่วันซื้อ

เพิ่มสมมติฐานแยกว่าราคาไม่รวมดอกเบี้ยค้างรับอยู่ที่ 100.20 ต่อมูลค่า 100 ดอลลาร์ ส่วนราคาพันธบัตรเท่ากับ 100,200 ดอลลาร์ เมื่อรวมดอกเบี้ยค้างรับจะต้องชำระ 101,022.81 ดอลลาร์ ส่วนเกินมูลค่าที่ตราไว้ 200 ดอลลาร์กับดอกเบี้ยค้างรับ 822.81 ดอลลาร์มีความหมายต่างกัน รายการแรกเป็นราคาของตราสาร ส่วนหลังชดเชยดอกเบี้ยที่เกิดก่อนผู้ซื้อรับพันธบัตร

จึงไม่ควรเรียกดอกเบี้ยค้างรับว่าเป็นค่าปรับหรือค่าธรรมเนียม และไม่ควรนับส่วนที่ได้รับคืนในดอกเบี้ยงวดใหญ่เป็นกำไรเพิ่มซ้ำอีก การนำดอกเบี้ยเต็มงวดหารด้วยมูลค่าที่ตราไว้หรือเงินชำระทั้งหมดก็ยังไม่ใช่อัตราผลตอบแทนรายปี ต้องมีราคาขายหรือเงินไถ่ถอน เงินรับอื่น ระยะถือครอง และต้นทุนด้วย ส่วนประเด็นราคาดูได้จากเหตุใดพันธบัตรอัตราลอยตัวยังลดราคาได้แม้ปรับดอกเบี้ยแล้ว การคงวันครบกำหนดและส่วนเพิ่มของรุ่นเดิมไม่ได้บังคับให้ราคาออกเพิ่มต้องเท่าเดิม

แยกดอกเบี้ยขั้นต่ำศูนย์กับส่วนคาดการณ์อนาคต

ขั้นต่ำศูนย์ใช้กับผลรวมอัตราอ้างอิงและส่วนเพิ่มของแต่ละวัน สมมติพันธบัตรอีกฉบับหนึ่งมีอัตราอ้างอิง 0.100% และส่วนเพิ่มคงที่ −0.200% ดอกเบี้ยวันนั้นเป็นศูนย์ ไม่ได้เกิดดอกเบี้ยติดลบเพื่อนำไปหักกับดอกเบี้ยบวกของวันอื่น นี่เป็นอีกสัญญาหนึ่งเพื่ออธิบายขอบเขต ไม่ใช่การเปลี่ยนส่วนเพิ่ม +0.150% ของตัวอย่างหลัก

ดอกเบี้ยมีขั้นต่ำก็ไม่ได้ทำให้ราคาซื้อหรือราคาขายมีขั้นต่ำเท่ามูลค่าที่ตราไว้ หากงวดยังไม่จบ ต้องแยกดอกเบี้ยที่ทราบแล้วในอดีตออกจากเงินคาดการณ์สำหรับวันที่เหลือ การใช้อัตราวันนี้ต่อไปในอนาคตเป็นเพียงสมมติฐาน เมื่อเปลี่ยนเส้นทางอัตราที่คาดไว้ ยอดคาดการณ์เปลี่ยนได้ แต่ดอกเบี้ยของวันที่ผ่านไปแล้วไม่ควรถูกแก้ตาม

วิธีนี้ยังไม่ควรถูกนำไปใช้กับหุ้นกู้ลอยตัว เงินจ่ายจากกองทุน หรือผลิตภัณฑ์ที่คิดอัตราข้ามคืนแบบทบต้นโดยไม่ตรวจเงื่อนไข ช่วงสังเกตอัตรา การเปลี่ยนเงินต้น และธรรมเนียมจ่ายเงินอาจแตกต่างกัน ต้องเริ่มจากตราสารและสัญญาจริงก่อนเลือกสูตร

ห้าข้อที่ต้องตรวจ ก่อนตัดสินว่าได้รับเงินไม่ครบ

1. ยืนยันรหัสหลักทรัพย์ มูลค่าที่ตราไว้ ส่วนเพิ่มคงที่ วันเริ่มและสิ้นสุดการคิดดอกเบี้ย และวันจ่ายเงิน แยกอายุวันของตั๋วเงินออกจากจำนวนวันของงวดพันธบัตร
2. นำข้อมูลอัตราอ้างอิงรายวันของรุ่นที่ถูกต้องและข้อมูลประมูลมาตรวจ แยกอัตราคิดลด อัตราที่แปลงแล้ว และอัตรารวมส่วนเพิ่ม
3. จับคู่อัตราที่มีผลกับแต่ละวันปฏิทิน ตรวจช่วงตรึงและจำนวนที่ถือครองเปลี่ยนแปลง รวมดอกเบี้ยรายวันโดยไม่เปลี่ยนเป็นทบต้น
4. แยกราคาไม่รวมดอกเบี้ยกับดอกเบี้ยค้างรับในเงินชำระ แล้วแยกเงินรับเต็มงวดจากดอกเบี้ยของช่วงถือครองตนเอง
5. เทียบค่าก่อนปัดเศษก่อนตรวจส่วนต่างระดับเซนต์ แยกรายการที่ยืนยันแล้วกับประมาณการ และปิดการตรวจด้วยหลักฐานจ่ายเงินจริง

คำถามสำคัญไม่ใช่เพียงอัตราล่าสุดดูสมเหตุสมผลหรือไม่ แต่คือใช้อัตราถูกหน่วย ตรงวัน และตรงช่วงที่ตนเป็นเจ้าของหรือยัง เมื่อสามเรื่องนี้ชัดเจน เงินดอกเบี้ยของ FRN ก็เป็นกระแสเงินสดที่คำนวณซ้ำและตรวจย้อนกลับได้