ส่วนชดเชยความเสี่ยงของความแปรปรวน แยกอดีต คาดการณ์ และกำไรขาดทุนอย่างไร

เมื่อความผันผวนโดยนัยอยู่ที่ 20% แต่ความผันผวนย้อนหลังมีเพียงประมาณ 15.87% ส่วนต่างอาจดูเหมือนกำไรสำหรับผู้ขาย อย่างไรก็ตาม ผู้ขายไม่ได้รับเงินเพียงเพราะตัวเลขสองชุดต่างกัน เขากำลังรับผลของช่วงเวลาที่ยังมาไม่ถึง การประเมินส่วนชดเชยความเสี่ยงของความแปรปรวนจึงต้องแยกสิ่งที่วัดได้ในอดีต สิ่งที่คาดว่าจะเกิดในอนาคต และเงินที่สัญญาจะชำระจริงเมื่อสิ้นสุดช่วง

ส่วนต่าง 148 จุด ยังไม่ใช่กำไรที่รอรับ

สมมติผลตอบแทนลอการิทึมรายวันย้อนหลัง 20 ค่าเป็นคู่ +0.01 และ −0.01 จำนวนสิบคู่ ผลรวมกำลังสองเท่ากับ 0.0020 เมื่อคูณตัวปรับรายปี 252÷20 จะได้ความแปรปรวนหน่วยทศนิยม 0.0252 หรือ 252 จุดตามนิยามที่จะใช้ด้านล่าง ความผันผวนรายปีที่สอดคล้องกันคือ 15.874508%

ส่วนระดับที่ตกลงกันวันนี้สมมติให้เทียบเท่าความผันผวน 20% หรือความแปรปรวน 400 จุด เพราะ 20²=400 ดังนั้นส่วนต่างจากอดีตคือ 148 จุด แต่ถ้านำความผันผวนมาลบกันตรง ๆ จะได้ประมาณ 4.125492 จุดเปอร์เซ็นต์ ทั้งสองเป็นคนละหน่วย และยังไม่ใช่เงินสด ตัวเลข 400 ก็ไม่ใช่ผลตอบแทน 400% หรือค่าออปชัน 400 ดอลลาร์

ปัญหาอีกชั้นคือระดับราคามองไปข้างหน้า ขณะที่ข้อมูลย้อนหลังมาจากช่วงที่จบแล้ว หากเลือกสมมติฐานว่า “ความแปรปรวนย้อนหลังคือค่าคาดการณ์ของช่วงถัดไป” 148 จึงเป็นส่วนชดเชยที่ประมาณได้ภายใต้โมเดลนั้น แต่กราฟที่เงียบในอดีตไม่สามารถพิสูจน์สมมติฐานเองได้ ความเป็นไปได้ของการแกว่งแรงในอนาคตอาจเปลี่ยนข้อสรุปทั้งที่ตัวเลขย้อนหลังไม่ขยับเลย

ค่าคาดหวังสองแบบต้องอ้างถึงอนาคตช่วงเดียวกัน

บทความนี้กำหนดส่วนชดเชยความเสี่ยงของความแปรปรวนเป็น E^Q[RV ในอนาคต]−E^P[RV ในอนาคต] โดย RV คือความแปรปรวนที่เกิดขึ้นจริงในช่วงเดียวกัน Q เป็นน้ำหนักสำหรับการตั้งราคา ส่วน P เป็นความน่าจะเป็นในโลกจริงหรือเชิงสถิติสำหรับการพยากรณ์ ไม่ใช่สัญลักษณ์แทนมุมมองขาขึ้นกับขาลง ค่าคาดหวังภายใต้ P ไม่สามารถเห็นโดยตรง ต้องประมาณจากข้อมูลที่มีในเวลานั้น

ในสัญญาอุดมคติที่มูลค่าเริ่มต้นเป็นศูนย์ หากระดับความแปรปรวนที่ตกลง K เท่ากับค่าคาดหวัง Q ของตัวแปรนิยามเดียวกัน K ลบค่าคาดการณ์ RV จึงตรงกับส่วนชดเชยตามเครื่องหมายที่เลือก แต่ในการทำรายการจริงอาจต้องปรับเรื่องราคาเข้าทำรายการ เงินทุน หลักประกัน เครดิต และวิธีเก็บข้อมูลแบบไม่ต่อเนื่อง เราไม่ได้สมมติว่าความผันผวนโดยนัยของออปชันที่ราคาใช้สิทธิใกล้ราคาสินทรัพย์เพียงตัวเดียว หรือ VIX ยกกำลังสอง เป็น K ที่ขายได้จริง

เพื่อให้คำนวณเงินได้ชัดเจน ให้เป็นความเสี่ยงต่อความแปรปรวนแบบสมมติ เริ่มวันนี้ เก็บผลตอบแทนรายวันในอนาคต 20 ค่า แล้วชำระส่วนต่างเมื่อสิ้นสุด ไม่ใช่การอ้างว่ามีสัญญาจดทะเบียนอายุ 20 วันตามนี้อยู่จริง ราคาทั้งหมด 21 ค่าสร้าง r_i=ln(P_i/P_(i−1)) ในหน่วยทศนิยม แล้วคำนวณ RV หน่วยจุด=10,000×(252÷20)×Σr_i² ไม่หักค่าเฉลี่ยและไม่ใช้ 19 เป็นตัวหาร เพราะเป็นนิยามตัวแปรชำระราคาของตัวอย่าง ไม่ใช่สูตรประมาณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่างข้อมูล

ให้ K=400 และขนาดความเสี่ยงรวมเท่ากับ 100 ดอลลาร์ต่อความแปรปรวนหนึ่งจุด ตัวเลข 100 ไม่ใช่เงินลงทุนหรือการระบุตัวคูณของสัญญาจริงหนึ่งสัญญา เมื่อกำหนดดอกเบี้ยเป็นศูนย์ ไม่มีการปรับเครดิต และยังไม่หักต้นทุน กำไรขาดทุนผู้ขายเมื่อสิ้นสุดคือ 100×(400−RV หน่วยจุด) ผู้ซื้อมีเครื่องหมายตรงข้าม สูตรนี้ยังไม่ได้จำลองเงินหลักประกันหรือความต้องการเงินระหว่างทาง

ราคากลับมาที่เดิม แต่ความแปรปรวนไม่ได้หายไป

เส้นทาง A มีผลตอบแทนลอการิทึม +0.01 และ −0.01 สิบคู่ ส่วน B มีเก้าคู่เช่นเดียวกันใน 18 วันแรก แล้วสองวันสุดท้ายเปลี่ยนเป็น −0.08 และ +0.08 ทั้งสองเส้นเริ่มที่ 100 วันที่ 18 อยู่ที่ 100 และวันที่ 20 กลับมาที่ 100 แต่ผลตอบแทนสองวันท้ายของ B เมื่อแปลงเป็นเปอร์เซ็นต์การเปลี่ยนแปลงทั่วไปคือประมาณ −7.688365% และ +8.328707% ไม่ใช่ลดลง 8% แล้วเพิ่มขึ้น 8% แบบธรรมดา

ความแปรปรวนของ B เท่ากับ 10,000×(252÷20)×(18×0.01²+2×0.08²)=1,839.6 จุด การเด้งกลับชดเชยราคาที่ลดลงได้ แต่ไม่ลบผลตอบแทนกำลังสองที่เกิดขึ้นไปแล้ว ผู้ขายมีกำไรก่อนต้นทุน 14,800 ดอลลาร์ใน A แต่ขาดทุนก่อนต้นทุน 143,960 ดอลลาร์ใน B ทั้งที่ผลตอบแทนจากการถือสินทรัพย์อ้างอิงตลอดช่วงเป็น 0% เหมือนกัน

ตัวอย่างเก็บเฉพาะราคาประจำวันตามที่กำหนด ไม่ได้รวมช่วงสูงสุดต่ำสุดระหว่างวันทั้งหมด ถ้าความถี่หรือวิธีกำหนดราคาในสัญญาจริงต่างกัน ผลลัพธ์อาจต่างด้วย A และ B เป็นเพียงเส้นทางตัวแทนของผลความแปรปรวนสองค่า ไม่ได้กำหนดทุกสถานะของกระบวนการราคาหุ้นที่ซื้อขายได้ จึงใช้สองเส้นนี้พิสูจน์การไม่มีอาร์บิทราจแบบพลวัต หรืออ้างว่าได้ความน่าจะเป็น Q ที่ปรับเทียบจากตลาดแล้วไม่ได้

เปลี่ยน q โดยไม่เปลี่ยนอดีต ก็ทำให้กำไรคาดหวังกลับข้าง

ต่อไปตั้งโมเดลพยากรณ์เฉพาะ RV ในอนาคตให้มีสองผลลัพธ์: 252 จุดด้วยความน่าจะเป็น 1−q และ 1,839.6 จุดด้วยความน่าจะเป็น q ค่า q เป็นสมมติฐานสำหรับตรวจความไว ไม่ใช่ความถี่จริงที่วัดได้จาก 20 วันย้อนหลัง

ค่าคาดการณ์ความแปรปรวนเท่ากับ 252+1,587.6q และ K ลบค่าคาดการณ์เท่ากับ 148−1,587.6q ต้นทุน 1,000 ดอลลาร์ในตารางเป็นต้นทุนรวมคงที่ที่สมมติขึ้นเพื่อคำนวณ ไม่ใช่ค่าธรรมเนียมจริงของตลาดแห่งใด

ที่ q=5% กำไรขาดทุนคาดหวังก่อนต้นทุนคือ 0.95×14,800+0.05×(−143,960)=6,862 ดอลลาร์ แต่เมื่อ q=10% จะกลายเป็น −1,076 ดอลลาร์ ข้อมูลอดีตและ K ยังเหมือนเดิม ความต่างอยู่ที่การประเมินโอกาสเกิดความแปรปรวนสูงในอนาคต การมองเพียงช่องว่างระหว่าง 15.87% กับ 20% จึงไม่เห็นสาเหตุที่ข้อสรุปพลิก

ค่าคาดหวังบวก 6,862 ดอลลาร์ไม่ได้แปลว่ารายการครั้งนี้ต้องได้เงินจำนวนดังกล่าว แม้ใช้ q=5% ผลขาดทุนก่อนต้นทุน 143,960 ดอลลาร์ก็ยังเกิดได้ อีกเรื่องที่ต้องระวังคือรากที่สองของค่าคาดหวังความแปรปรวนไม่ใช่ค่าคาดหวังของความผันผวนโดยทั่วไป การสลับลำดับหาค่าเฉลี่ยตามความน่าจะเป็นกับถอดรากทำให้ได้คนละตัวเลข

ต้นทุนทำให้จุดคุ้มทุนของความน่าจะเป็นต่ำลง

ในโมเดลนี้ กำไรขาดทุนคาดหวังก่อนต้นทุนเป็นบวกเมื่อ q<148÷1,587.6 หรือประมาณ 9.322247% หากเท่ากับค่านี้พอดี ผลคาดหวังก่อนต้นทุนเป็นศูนย์ ด้วยขนาด 100 ดอลลาร์ต่อจุด ต้นทุนรวม 1,000 ดอลลาร์เทียบเท่าความแปรปรวน 10 จุด เงื่อนไขหลังต้นทุนจึงเป็น q<(148−10)÷1,587.6 หรือประมาณ 8.692366%

ตัวเลขนี้ไม่ใช่เส้นแบ่งความปลอดภัยที่ใช้ได้ทั้งตลาด การเปลี่ยนผลความแปรปรวนสองค่าหรือระดับ K จะเปลี่ยนเกณฑ์ก่อนต้นทุน แต่การเพิ่มขนาดสถานะที่เป็นบวกตามสัดส่วนเพียงอย่างเดียวไม่เปลี่ยนเกณฑ์นั้น หากตรึงต้นทุนรวมไว้ที่ 1,000 ดอลลาร์ ต้นทุนต่อหน่วยสถานะจึงมีผลต่อเกณฑ์หลังต้นทุน เมื่อการแกว่งแรงขึ้นหรือ K ที่ขายได้ต่ำลง q เดิมก็อาจให้ผลคาดหวังแย่ลง จึงควรทดสอบทั้งความน่าจะเป็นและขนาดผลเสีย

หลังหักต้นทุนสมมติ A เหลือกำไร 13,800 ดอลลาร์ ส่วน B ขาดทุน 144,960 ดอลลาร์ กำไรครั้งเดียวไม่พิสูจน์ว่าโมเดลถูกต้อง เช่นเดียวกับขาดทุนครั้งเดียวที่ไม่ได้ล้มล้างค่าคาดหวังระยะยาวบวกโดยอัตโนมัติ ต้องแยกความคลาดเคลื่อนของผลครั้งหนึ่งออกจากความผิดพลาดของการพยากรณ์ และไม่ใช้ 100 ดอลลาร์ต่อจุดเป็นเงินต้นเพื่อคำนวณอัตราผลตอบแทนการลงทุน

เครื่องมือหรือช่วงสังเกตต่างกัน สูตรเงินสดก็ใช้แทนกันไม่ได้

การขายออปชันตัวเดียว การขายคอลกับพุตที่มีราคาใช้สิทธิและวันหมดอายุเดียวกัน หรือพอร์ตที่ปรับเฮดจ์เดลตา มีความเสี่ยงด้านทิศทาง แกมมา ต้นทุน และผลจากการเฮดจ์เป็นช่วง ๆ ไม่สามารถนำสูตรชำระเงินที่เป็นเส้นตรงกับความแปรปรวนในตัวอย่างไปแทนกำไรขาดทุนของกลยุทธ์เหล่านั้นตรง ๆ เงินปรับมูลค่ารายวันของฟิวเจอร์ส เงินหลักประกัน และสภาพคล่องระหว่างทางก็ไม่ใช่กำไรสุทธิเมื่อจบรายการ

ทั้ง 20 ผลตอบแทนในตัวอย่างยังอยู่ในอนาคต หากสัญญาเริ่มเก็บข้อมูลไปแล้ว ต้องแยกความแปรปรวนที่ทราบกับส่วนที่เหลือ เมื่อเปรียบเทียบคนละวันหมดอายุ ควรใช้ วิธีจัดช่วงสังเกตให้ตรงกันก่อนอ่านความแปรปรวนล่วงหน้า เพราะการแสดงเป็นค่ารายปีเหมือนกันไม่ได้ทำให้วันและเหตุการณ์ที่อยู่ในสองช่วงตรงกัน

สัญญาจริงอาจมีข้อกำหนดเกี่ยวกับราคาสุดท้าย วันที่ไม่มีราคา และตลาดหยุดชะงัก จึงไม่ควรลบวันที่ขาดแล้วเปลี่ยนจำนวนสังเกตเอง หรือใช้ค่าความผันผวนย้อนหลังในโปรแกรมแทน RV ตามสัญญา หากมีเพียงราคากึ่งกลางฝั่งซื้อขาย ก็ยังไม่ใช่หลักฐานว่าทำรายการในทิศทางและขนาดที่ต้องการได้จริง

ห้าขั้นตอนตรวจเหตุผลก่อนยอมรับกำไรคาดหวัง

1. ระบุเครื่องมือ วันเริ่มและสิ้นสุด เวลาที่เก็บราคา และกติกาชำระเงิน แยกส่วนที่ยังเป็นอนาคตออกจากส่วนที่สังเกตแล้ว
2. ใช้ชนิดผลตอบแทน ตัวปรับรายปี และหน่วยให้ตรงกัน แยกส่วนต่างความผันผวน จุดความแปรปรวน และเงินสดเป็นคนละรายการ
3. บันทึกข้อมูลย้อนหลังแยกจากค่าพยากรณ์ พร้อมตรึงข้อมูลและวิธีที่มีอยู่ในวันตัดสินใจ หาก q ไม่มีหลักฐานเชิงสถิติ ให้ระบุว่าเป็นสมมติฐาน
4. ใช้ราคาที่ทำรายการได้ในทิศทางจริง ขนาดความเสี่ยงรวม และต้นทุนคำนวณเงินสด เปลี่ยนทั้งโอกาสและขนาดการแกว่งแรงเพื่อหาจุดที่ข้อสรุปกลับข้าง
5. เมื่อสิ้นสุดให้เทียบ RV และเงินที่เกิดขึ้นกับพยากรณ์เดิม ตรวจแบบเลื่อนช่วงนอกตัวอย่างโดยไม่เติมข้อมูลอนาคตย้อนกลับ แล้วแยกความผิดพลาดพยากรณ์ออกจากต้นทุนหรือข้อสัญญา

เหตุผลที่ตรวจสอบได้จึงไม่ใช่เพียง “ความผันผวนโดยนัยสูงกว่าอดีต” แต่คือการคาดการณ์ความเสี่ยงอนาคตช่วงเดียวกัน ราคาและเงื่อนไขที่ใช้ได้จริง พร้อมผลเงินสดในกรณีที่ไม่เป็นใจ ทั้งหมดนี้ต่างหากที่ทำให้ประเมินค่าชดเชยที่คาดหวังได้อย่างมีความหมาย