債券凸性：存續期間估值何時不夠用？

用存續期間估算債券價格，先要決定能容忍多少誤差。利率衝擊看似不大，對長天期債券仍可能影響部位規模與風險限額。凸性補上價格曲線的彎曲，卻無法讓大幅利率變動的近似式變成精確值，更不能消除殖利率曲線風險。

200個基點的衝擊，線性估值差在哪？

假設一檔零息債恰好20年後支付100，年複利到期殖利率4%，價格為100÷1.04²⁰＝45.6387。沒有中途配息或嵌入式選擇權；現金流不變、時間不推進，忽略稅費、交易、融資及匯率因素。這是當下重新定價，不是持有一年後的報酬預測。

將目前市值標準化為100，殖利率降到2%時完整估值為147.46，上漲47.46%；只用存續期間則為138.46。殖利率升至6%時，兩者分別是68.32與61.54。固定現金流債券的價格—殖利率曲線向上彎曲，因此切線會低估漲幅、高估跌幅。

修正存續期間與凸性要採相同口徑

本例修正存續期間D＝20÷1.04＝19.2308，殖利率凸性C＝20×21÷1.04²＝388.3136。二階估算為價格變動率≈−D×殖利率變動＋½×C×殖利率變動²。100個基點必須輸入0.01，不能填1或100。麥考利存續期間、修正存續期間與有效存續期間也不是可以直接替換的數字。

完整估值為100×[1.04÷(1.04＋殖利率變動)]²⁰。下表保持其他條件不變，只調整殖利率。表內是標準化後的價值，扣掉100才是百分比報酬。

下跌200個基點時，凸性修正後為146.23，仍低於完整估值1.23個價值點；上升200個基點時為69.30，高出約0.98個點。修正改善了結果，但沒有涵蓋所有高階影響，正反方向的誤差亦不相同。

從誤差預算倒推重估門檻

若可接受誤差為目前市值的0.10%，先用½×C×殖利率變動²＝0.001篩選，得到衝擊絕對值約22.69個基點。這不是數學上的誤差保證，而是提醒這檔債券在接近此幅度時，就應完整重估，不能一律等到100個基點才處理。

正負25個基點的列示結果，存續期間誤差已約0.12個價值點；若目前部位市值100萬，約相當於1200個計價貨幣單位。檢驗限額時要保留未四捨五入的數值。短天期債券的凸性不同，門檻自然不同。需將一階敏感度換成金額時，可參考FastBull的DV01計算方式，並讓誤差預算與風險限額採同一幣別。

相同存續期間，較高凸性仍可能輸

以初始市值各半配置10年及30年零息債，形成槓鈴式組合，所有期限起始殖利率均為4%。它與20年零息債的修正存續期間同為19.2308，但凸性是480.7692。對瞬間平行移動100個基點而言，額外二階貢獻約為初始市值0.46%：½×(480.7692−388.3136)×0.01²。

這並非免費獲利。如果10年殖利率降至3%、30年升至5%，20年維持4%，槓鈴式組合價值為50×(1.04/1.03)¹⁰＋50×(1.04/1.05)³⁰＝92.59；20年債券仍值100。殖利率曲線的不利扭轉，足以蓋過較高凸性的優勢。實際比較還必須納入信用、流動性、融資及買進現金流的價格。

用實際持債條件完成核驗

先確認交割日、付息日與頻率，以及含應計利息的全價。殖利率複利口徑要與現金流一致，半年付息債券不能直接套入這個年複利範例。分別重估上升與下降情境，將近似誤差列成金額和初始市值比率。

投資組合除了平行移動，還要測試各期限節點。可贖回債券或房貸抵押證券可能因利率下降而提前還款，限制價格上漲，特定區間甚至有負凸性；應使用能反映選擇權與現金流變動的模型。也要把瞬間價差與日後配息、再投資、融資及時間經過分開。估值方法是否合用，最終取決於它在重要情境下能否滿足事先設定的誤差預算。