Tahvil Konveksitesi: Durasyon Ne Zaman Yetmez?

Durasyon tahmini ancak hatası alınacak kararı değiştirmeyecek kadar küçükse işe yarar. Uzun vadeli bir tahvilde yaklaşık hesap, pozisyon büyüklüğünü veya risk limitini yanlış gösterebilir. Konveksite fiyat eğrisindeki bükülmeyi düzeltir; büyük şoklarda kesin fiyat vermez ve getiri eğrisinin şekil değiştirmesinden doğan riski yok etmez.

200 baz puanlık değişimde fark belirginleşir

Tam 20 yıl sonra 100 ödeyen varsayımsal kuponsuz tahvili ele alalım. Yıllık bileşik vadeye kadar getiri %4 ise fiyat 100÷1,04²⁰＝45,6387 olur. Ara ödeme ve gömülü opsiyon yoktur; nakit akışı sabittir. Zaman ilerlemez, vergi, işlem, fonlama ve kur etkileri dışarıda tutulur. Hesap anlık yeniden fiyatlamadır; bir yıllık elde tutma getirisi değildir.

Bugünkü piyasa değerini 100 kabul edersek getiri %2’ye düştüğünde tam fiyatlama 147,46, yani %47,46 kazanç verir. Yalnızca durasyon 138,46 gösterir. Getiri %6’ya çıktığında ise sonuçlar 68,32 ve 61,54’tür. Sabit nakit akışlı tahvilin fiyat eğrisi teğetin üzerinde kaldığı için doğrusal tahmin yükselişi düşük, kaybı yüksek hesaplar.

Formülde önce ölçü birimini düzeltin

Düzeltilmiş durasyon D＝20÷1,04＝19,2308; konveksite C＝20×21÷1,04²＝388,3136’dır. İkinci dereceden yaklaşım ΔP/P ≈ −D×Δy＋½C×Δy² şeklindedir. 100 baz puan için Δy yerine 0,01 yazılır. Macaulay, düzeltilmiş ve etkin durasyon aynı girdi gibi kullanılamaz.

Kesin normalize değer 100×[1,04÷(1,04＋Δy)]²⁰ ile bulunur. Tabloda yalnız getiri değişir. Rakamlar yüzde getiri değil değerdir; 100 çıkarıldığında yüzde değişim elde edilir.

−200 baz puanda konveksite düzeltmesi 146,23 verir; kesin değerin hâlâ 1,23 puan altındadır. +200 baz puanda 69,30 verir ve yaklaşık 0,98 puan yüksek kalır. Daha yüksek dereceli etkiler sürer; eşit büyüklükteki artış ve düşüşün hataları da aynı değildir.

Yeniden fiyatlama eşiğini hata bütçesi belirlesin

Kabul edilen hata bugünkü piyasa değerinin %0,10’u olsun. ½C×Δy²＝0,001 taraması yaklaşık 22,69 baz puan verir. Bu, kesin hata üst sınırı değil, tam fiyatlamaya geçmek için bir uyarıdır. Bu tahvilde değişim 100 baz puana ulaşana kadar beklemek uygun bir genel kural değildir.

±25 baz puan satırlarında durasyon hatası yaklaşık 0,12 değer puanına ulaşır. Piyasa değeri 1 milyon olan pozisyonda fiyatlama para birimiyle yaklaşık 1.200 demektir. Limit kontrolünde yuvarlanmamış rakam kullanın; farklı konveksiteli bir tahvil için eşiği yeniden hesaplayın. FastBull’un DV01 hesaplama rehberi birinci derece duyarlılığı paraya çevirir. Duyarlılık ile tahmin hatası farklıdır, ancak limitlerle aynı para biriminde karşılaştırılmalıdır.

Aynı durasyon, farklı eğri riski

Başlangıç piyasa değerini eşit bölerek %4 getirili 10 ve 30 yıllık kuponsuz tahvillere yatıran barbell portföyünün düzeltilmiş durasyonu da 19,2308’dir. Konveksitesi ise 480,7692 olur. Anlık ve paralel 100 baz puanlık kaymada ek ikinci derece katkı ½×(480,7692−388,3136)×0,01², başlangıç değerinin yaklaşık %0,46’sıdır.

Bu üstünlük bedelsiz kazanç değildir. 10 yıllık getiri %3’e iner, 30 yıllık %5’e çıkar ve 20 yıllık %4’te kalırsa portföy 50×(1,04/1,03)¹⁰＋50×(1,04/1,05)³⁰＝92,59 değerine geriler. 20 yıllık tahvil 100’de kalır. Olumsuz eğri bükülmesi yüksek konveksite avantajını aşar. Kredi kalitesi, likidite, fonlama ve nakit akışı için ödenen fiyat da karşılaştırmaya dahildir.

Gerçek pozisyonu nasıl sınarsınız?

Takas tarihi, ödeme takvimi, kupon sıklığı ve işlemiş faizi içeren kirli fiyatı belirleyin. Getiri bileşikleşmesini nakit akışlarıyla eşleştirin; altı aylık göstergeleri bu yıllık örneğe değişmeden koymayın. Yukarı ve aşağı şoklarda yeniden fiyatlayıp farkı tutar ve başlangıç değerine oran olarak yazın. Portföyde vade noktalarını ayrı ayrı da hareket ettirin.

Erken itfa edilebilir tahviller ve ipoteğe dayalı menkul kıymetlerde faiz düşünce nakit akışları değişebilir. İtfa veya yeniden finansman fiyat artışını sınırlar; bazı aralıklarda negatif konveksite oluşabilir. Böyle araçlar opsiyonu dikkate alan model gerektirir. Son olarak anlık fiyat riskini sonraki kupon, yeniden yatırım, fonlama ve zaman etkilerinden ayırın. Doğru yöntem, önemli senaryolarda önceden belirlenen hata bütçesini karşılayandır.