Convexidad de los bonos: cuándo no basta la duración

La duración ofrece una estimación, no un precio garantizado. Para decidir si basta, primero hay que definir cuánto error puede soportar la posición. En un bono largo, una desviación pequeña en apariencia puede alterar un límite de riesgo. La convexidad mejora el cálculo de grandes movimientos, pero no elimina ni los términos de orden superior ni el riesgo de que la curva cambie de forma.

La diferencia aparece al mover el rendimiento 200 puntos básicos

Supongamos un bono cupón cero que pagará 100 dentro de exactamente 20 años. Con una rentabilidad a vencimiento del 4% y capitalización anual, cuesta 100÷1,04²⁰＝45,6387. No tiene opciones ni pagos intermedios. Los flujos no cambian, no transcurre tiempo y se excluyen impuestos, negociación, financiación y divisas. Es una valoración instantánea, no una previsión del retorno durante un año.

Si normalizamos su valor actual a 100, una caída del rendimiento al 2% lleva el precio exacto a 147,46: gana un 47,46%. La duración sola indica 138,46. Si sube al 6%, los resultados son 68,32 y 61,54. La curva queda por encima de su tangente: el cálculo lineal infravalora la subida y exagera la caída.

Una fórmula útil si las unidades son correctas

La duración modificada D es 20÷1,04＝19,2308 y la convexidad C, 20×21÷1,04²＝388,3136. La aproximación es ΔP/P ≈ −D×Δy＋½C×Δy². Introducir 100 puntos básicos como 0,01, nunca como 1 o 100. Tampoco sustituir D indistintamente por duración de Macaulay o duración efectiva.

El valor normalizado exacto es 100×[1,04÷(1,04＋Δy)]²⁰. La tabla mantiene constantes todas las demás condiciones. Sus cifras son valores; al restar 100 se obtiene la variación porcentual.

Con −200 puntos básicos, la convexidad da 146,23, todavía 1,23 puntos por debajo del precio exacto. Con +200 da 69,30, alrededor de 0,98 puntos por encima. La mejora no convierte la aproximación de segundo orden en valoración exacta; además, el error cambia según la dirección.

El umbral depende del error admisible

Para una tolerancia del 0,10% del valor de mercado, el filtro ½C×Δy²＝0,001 produce un movimiento de unos 22,69 puntos básicos. No es una cota garantizada: indica cuándo conviene recalcular todos los flujos. Una regla universal de esperar hasta 100 puntos básicos no sirve para este bono.

Las filas de ±25 puntos básicos ya muestran un error lineal cercano a 0,12 puntos de valor. En una posición de un millón, equivale a unos 1.200 en la moneda de valoración. Los límites se comprueban sin redondear; otro bono exige otro umbral. La guía de FastBull para calcular el DV01 permite expresar la sensibilidad de primer orden en dinero. No hay que confundir esa sensibilidad con el error del modelo, aunque ambos deben medirse en la misma moneda.

Más convexidad no garantiza una cartera más segura

Una cartera de vencimientos extremos, con la mitad del valor inicial en un cero a 10 años y la otra mitad en uno a 30, todos al 4%, conserva la duración modificada de 19,2308 del bono a 20 años. Su convexidad es 480,7692. Ante un desplazamiento paralelo e inmediato de 100 puntos básicos, el aporte adicional de segundo orden es ½×(480,7692−388,3136)×0,01², aproximadamente el 0,46% del valor inicial.

Ahora el rendimiento a 10 años baja al 3%, el de 30 sube al 5% y el de 20 permanece en el 4%. La cartera vale 50×(1,04/1,03)¹⁰＋50×(1,04/1,05)³⁰＝92,59, mientras el bono a 20 sigue en 100. La deformación de la curva anula la supuesta protección. También importan crédito, liquidez, financiación y precio de compra: no existe aquí una promesa de rentabilidad gratuita.

La comprobación que debe acompañar la estimación

Identificar liquidación, fechas de pago, frecuencia del cupón y precio sucio, incluido el cupón corrido. Alinear capitalización y flujos: las cifras de un bono semestral no entran sin cambios en este ejemplo anual. Recalcular ambos sentidos del choque y registrar la diferencia como importe y como porcentaje del valor inicial. En una cartera, mover también los nodos de la curva por separado.

Un bono amortizable anticipadamente o un título hipotecario puede cambiar sus flujos cuando bajan los tipos. Las cancelaciones y refinanciaciones limitan la subida del precio y pueden generar convexidad negativa en ciertos tramos; se necesita un modelo que valore esas opciones. Separar siempre esta pérdida o ganancia inmediata de los cupones posteriores, su reinversión, el coste de financiación y el paso del tiempo. Lo decisivo es que el método cumpla la tolerancia de error en los escenarios relevantes.