Premium risiko varians: jurang turun naik belum membuktikan keuntungan penjual

Jika turun naik sejarah ialah 15.87% tetapi paras harga varians masa hadapan bersamaan turun naik 20%, adakah penjual boleh menganggap jurangnya sebagai keuntungan? Belum. Satu angka meringkaskan apa yang sudah berlaku, satu lagi berkaitan harga bagi tempoh akan datang. Untuk membuat kesimpulan tentang keuntungan yang dijangka, masih diperlukan ramalan, takrif pembayaran dan saiz pendedahan tunai.

Masalah ini lebih jelas apabila dibahagikan kepada tiga kiraan: sejarah yang diperhatikan, hasil masa hadapan yang diramal dan untung rugi yang benar-benar direalisasikan. Contoh di bawah bukan harga semasa atau kontrak yang ditawarkan di pasaran. Semua laluan, kebarangkalian dan kos dinyatakan sebagai andaian supaya setiap kesimpulan boleh dikira semula.

Jurang 148 mata bukan wang yang sudah diperoleh

Andaikan 20 pulangan logaritma harian yang lalu terdiri daripada sepuluh pasangan +0.01 dan −0.01. Jumlah kuasa duanya ialah 0.0020. Dengan faktor tahunan berasaskan 252 hari dagangan, varians mencapai 252 mata dan turun naik sejarahnya √252 = 15.874508%. Ukuran ini menerangkan laluan harga yang telah selesai, bukannya memastikan laluan seterusnya akan serupa.

Turun naik setara 20% memberikan varians 20² = 400 mata. Perbezaan 400 − 252 ialah 148 mata varians. Jika dua angka turun naik ditolak secara terus, bezanya kira-kira 4.125492 mata peratusan. Kedua-duanya menggunakan unit berlainan, dan kedua-duanya belum menjadi keuntungan tunai. Paras 400 juga bukan pulangan 400% atau bayaran premium 400 USD.

Jurang 148 boleh digunakan sebagai anggaran premium hanya jika kita secara jelas memilih varians lalu 252 sebagai ramalan untuk tempoh akan datang. Itu satu andaian model, bukan fakta yang terbukti pada carta. Kejadian yang bakal tiba, perubahan rejim atau kebarangkalian pergerakan besar mungkin tidak tercermin dalam tempoh sejarah yang singkat. Menyatakan andaian ini penting sebelum keputusan sebenar diketahui.

Dua jenis jangkaan dan satu takrif pembayaran

Konvensyen tanda di sini ialah VRP = E^Q[RV masa hadapan] − E^P[RV masa hadapan]. Q merujuk wajaran untuk penetapan harga, manakala P merujuk kebarangkalian statistik bagi meramal hasil dunia sebenar. Kedua-duanya bukan pandangan menaik dan menurun. Jangkaan di bawah P tidak boleh dilihat secara langsung pada skrin; ia perlu dianggarkan menggunakan maklumat dan model.

Jika K ialah paras harga varians yang benar-benar setanding, K tolak ramalan RV memberikan anggaran premium mengikut model. Kesamaan K dengan jangkaan Q memerlukan syarat ideal bagi kontrak bernilai sifar ketika bermula. Dalam pelaksanaan sebenar, pembiayaan, cagaran dan syarat dagangan mungkin memerlukan pelarasan. Turun naik tersirat daripada satu opsyen pada harga laksana hampir harga pasaran atau kuasa dua VIX bukan secara automatik K yang boleh didagangkan.

Contoh ini bermula sebelum semua pemerhatian berlaku. Sebanyak 21 harga harian menghasilkan 20 pulangan rᵢ = ln(Pᵢ/Pᵢ₋₁), dinyatakan dalam perpuluhan. Varians tahunan dalam mata ialah RV = 10,000 × (252/20) × Σrᵢ². Purata tidak ditolak dan pembahagi tidak ditukar kepada 19. Ini takrif ukuran bagi pembayaran, bukan anggaran sisihan piawai sampel dengan pembetulan darjah kebebasan.

Tetapkan K = 400 dan jumlah pendedahan 100 USD bagi setiap mata varians. Dengan faedah sifar, tanpa pelarasan kredit dan buat sementara tanpa kos, hasil kasar penjual pada penghujung tempoh ialah 100 × (400 − RV). Hasil pembeli bertanda sebaliknya. 100 USD setiap mata ialah saiz pendedahan andaian, bukan modal dilaburkan atau dakwaan tentang pengganda kontrak bursa tertentu. Oleh itu, jangan membahagikan keuntungan dengan 100 USD untuk melaporkan pulangan atas modal.

Dua laluan ke harga akhir yang sama, dua hasil yang bertentangan

Laluan A mengulangi sepuluh pasangan +0.01/−0.01. Laluan B mempunyai sembilan pasangan yang sama bagi 18 hari pertama, tetapi dua pulangan terakhir ialah −0.08 dan +0.08. Kedua-duanya bermula pada 100, berada pada 100 pada hari ke-18 dan berakhir pada 100. Bagi B, perubahan peratusan biasa pada dua hari terakhir ialah kira-kira −7.688365% dan +8.328707%, bukannya turun 8% kemudian naik 8%.

Varians B dikira sebagai 10,000 × (252/20) × [18 × 0.01² + 2 × 0.08²] = 1,839.6 mata. Hasil kasar penjual menjadi 100 × (400 − 1,839.6) = −143,960 USD. Laluan A pula menghasilkan +14,800 USD. Harga yang pulih tidak memadam kuasa dua pulangan yang sudah terkumpul. Pergerakan turun dan naik masing-masing menambah varians walaupun saling mengimbangi pada harga akhir.

Pengiraan hanya menggunakan harga harian yang ditetapkan, bukan julat tertinggi dan terendah sepanjang hari. Mengubah kekerapan pemerhatian boleh mengubah hasil. Dua laluan ini menggambarkan dua kemungkinan nilai varians; ia bukan proses harga lengkap yang boleh didagangkan dan bebas arbitraj. Oleh itu, ia tidak menentukan kebarangkalian Q yang dikalibrasi daripada pasaran.

Ramalan boleh berubah walaupun sejarah tidak berubah

Untuk menjadikan andaian telus, bina taburan dua hasil bagi varians masa hadapan secara berasingan: 252 mata dengan kebarangkalian 1 − q, dan 1,839.6 mata dengan kebarangkalian q. Nilai q merupakan input ujian kepekaan, bukan kebarangkalian sebenar yang telah diperoleh daripada 20 hari lalu. Ramalan varians ialah 252 + 1,587.6q; beza K dan ramalan ialah 148 − 1,587.6q.

Apabila q = 5%, jangkaan hasil kasar ialah 100 × 68.62 = 6,862 USD. Semakan melalui wajaran tunai memberi jawapan sama: 0.95 × 14,800 + 0.05 × (−143,960) = 6,862. Apabila q = 10%, hasil kasar yang dijangka bertukar kepada −1,076 USD. Data lalu dan K kekal sama. Yang berubah ialah kebarangkalian hasil varians tinggi dalam ramalan.

Jumlah 6,862 USD bukan hasil terealisasi ketiga yang perlu muncul pada akhir tempoh. Ia purata berwajaran kebarangkalian bagi dua hasil model. Begitu juga, punca kuasa dua jangkaan varians tidak sama dengan jangkaan turun naik: √E[RV] tidak boleh ditukar menjadi E[√RV]. Kedua-duanya mesti diberikan label yang tepat agar pembaca tidak menyangka operasi matematik itu boleh ditukar susunannya sesuka hati.

Berapa tinggi kebarangkalian yang menghapuskan kelebihan?

Jangkaan hasil kasar positif memerlukan q < 148/1,587.6, iaitu kira-kira 9.322247%. Pada nilai yang sama dengan ambang, jangkaan ialah sifar. Sekarang andaikan jumlah kos tetap 1,000 USD. Dengan pendedahan 100 USD setiap mata, kos itu bersamaan 10 mata varians. Untuk jangkaan bersih kekal positif, syaratnya menjadi q < (148 − 10)/1,587.6 = 8.692366%.

Kos 1,000 USD itu hanyalah andaian pengajaran, bukan kadar fi pasaran. Pada q = 5%, jangkaan bersih ialah +5,862 USD; pada q = 10%, nilainya −2,076 USD. Walaupun kes pertama mempunyai jangkaan positif, hasil kasar −143,960 USD masih boleh berlaku. Selepas kos yang sama, kerugian bagi hasil tersebut menjadi −144,960 USD.

Ambang itu bukan pemalar pasaran. Saiz kejutan atau K yang boleh didagangkan boleh mengubah ambang kasar. Membesarkan pendedahan positif sahaja tidak mengubah ambang kasar; apabila jumlah kos kekal 1,000 USD, kos bagi setiap unit pendedahan mempengaruhi ambang bersih. Mengubah q pula mengubah kedudukan ramalan berbanding ambang, bukan ambang itu sendiri. Uji kebarangkalian dan saiz kejutan secara berasingan. Satu untung tidak membuktikan kelebihan jangka panjang, dan satu rugi tidak dengan sendirinya menafikan jangkaan positif. Ralat satu hasil perlu dibezakan daripada kelemahan sistematik model.

Jangan samakan semua instrumen dengan pembayaran varians

Harga dan ramalan mesti meliputi tempoh masa hadapan yang sama. Bagi tarikh matang berlainan, penjajaran tempoh pemerhatian melalui varians hadapan perlu dibuat terlebih dahulu. Jika sebahagian tempoh kontrak sudah berlalu, varians terkumpul ialah maklumat diketahui, sementara bahagian yang berbaki masih tidak pasti. Itu bukan lagi contoh yang bermula sebelum kesemua 20 pulangan berlaku.

Jualan satu opsyen, strategi straddle atau portfolio dengan lindung nilai delta tidak semestinya menghasilkan pembayaran linear 100 × (400 − RV). Arah harga, gamma, pelarasan lindung nilai secara berkala dan kos dagangan mempunyai kesan tersendiri. Bayaran margin variasi serta keperluan cagaran sepanjang tempoh pula boleh menimbulkan keperluan tunai sebelum keputusan akhir diketahui. Model ini tidak mengira laluan pembiayaan sementara tersebut.

Harga pertengahan juga bukan janji harga boleh laksana bagi kuantiti yang diperlukan. Sisi sebut harga, jumlah pendedahan, jumlah kos, harga penetapan akhir dan layanan terhadap pemerhatian hilang mesti ikut instrumen sebenar. Menggantikan syarat itu dengan tetapan mudah pada carta boleh menghasilkan pengiraan yang kemas tetapi tidak relevan dengan wang yang diterima atau dibayar.

Lima semakan untuk menilai dakwaan premium

1. Tentukan instrumen, tarikh mula dan akhir, waktu penetapan harga serta syarat penyelesaian. Pastikan ukuran carta benar-benar sepadan dengan takrif kontrak.
2. Seragamkan pulangan, faktor tahunan dan mata varians. Sahkan pengganda tunai secara berasingan daripada ukuran turun naik.
3. Asingkan pemerhatian sejarah daripada ramalan. Simpan data dan andaian sebagaimana tersedia ketika ramalan dibuat, tanpa maklumat yang datang kemudian.
4. Gunakan harga boleh laksana, pendedahan dan kos untuk mengira hasil tunai. Uji kebarangkalian serta saiz kejutan yang boleh membalikkan keputusan, termasuk keperluan pembiayaan sementara.
5. Selepas tempoh tamat, padankan varians terealisasi dengan hasil tunai. Uji ramalan secara bergulir di luar sampel tanpa memasukkan hasil masa hadapan ke dalam ramalan asal.

Penilaian yang bernilai bukan sekadar menyebut turun naik tersirat lebih tinggi daripada sejarah. Ia menunjukkan model mana yang menyokong jangkaan positif, bukti yang masih kurang dan keadaan khusus yang akan menukar kesimpulan itu.