Duration per nodo: perché una copertura a DV01 zero può perdere

Una copertura può azzerare il DV01 complessivo e perdere comunque oltre 100.000 dollari quando la curva cambia forma. Non è necessariamente un errore nei calcoli: si può aver coperto uno spostamento parallelo, lasciando intatto il rischio di rotazione.

La duration per nodo scompone la sensibilità ai tassi per scadenza. Il totale misura quanto rischio c’è; la distribuzione mostra dove si trova. Il confronto ha senso soltanto con la stessa curva, valuta e data di valutazione.

Stessa duration, esposizioni diverse

Consideriamo due portafogli ipotetici da 10 milioni di dollari ciascuno. A contiene un solo zero coupon a cinque anni. B investe il 62,5% del valore iniziale in uno zero coupon a due anni e il 37,5% in uno a dieci. I tre tassi spot valgono il 4%, con capitalizzazione annuale. I flussi sono fissi e non ci sono opzioni incorporate o variazioni del credito. I pesi sono riferiti ai valori di mercato, non ai nominali.

La duration modificata di uno zero coupon a t anni è t / 1,04. Per A è 4,807692; per B è 0,625 × 2 / 1,04 + 0,375 × 10 / 1,04, cioè lo stesso valore. Il DV01 totale è quindi 4.807,69 dollari per entrambi. Qui un DV01 positivo indica la perdita approssimativa quando il tasso sale di un punto base.

A concentra tutta la sensibilità sul nodo a cinque anni. B ha 1.201,92 dollari sul nodo a due e 3.605,77 su quello a dieci. L’uguaglianza della somma non cancella la differenza tra le date dei pagamenti.

Calcolare una sensibilità coerente per ogni nodo

Si alza e si abbassa un nodo, mantenendo il trattamento concordato degli altri, e si rivaluta il portafoglio. La duration locale è circa [prezzo dopo il ribasso − prezzo dopo il rialzo] / (2 × prezzo iniziale × h), con h = 0,0001 per un punto base. Il DV01 locale è valore iniziale × duration locale × 0,0001.

La somma corrisponde approssimativamente alla duration parallela se gli shock elementari ricostruiscono lo stesso spostamento parallelo. Sensibilità rispetto a tassi zero, rendimenti alla pari o quotazioni swap non sono numeri intercambiabili. Contano anche nodi e interpolazione. Un’obbligazione con cedole distribuisce pagamenti su più date: attribuirne l’intero rischio alla scadenza finale è una scorciatoia sbagliata.

Tre scenari da rivalutare integralmente

Gli shock sono istantanei, senza trascorrere del tempo, finanziamento, imposte, commissioni o variazioni valutarie. Il nuovo valore di ciascuno zero coupon è valore iniziale × [1,04 / (1,04 + variazione del tasso)]ᵗ. B somma le due componenti. Le percentuali della tabella si riferiscono ai 10 milioni iniziali di ciascun portafoglio e non sono rendimenti annualizzati.

Un rialzo parallelo di 25 punti base produce perdite quasi uguali; il piccolo scarto nasce dalla non linearità. Se il tasso a due anni scende di 50 punti, quello a cinque resta fermo e quello a dieci sale di 50, A non cambia e B perde circa 115.079 dollari. Il rischio lungo prevale sul beneficio a breve.

Nel terzo scenario sale la parte centrale e scendono gli estremi. A perde circa 236.956 dollari, mentre B guadagna 121.504. La frase «i rendimenti salgono» non basta a descrivere la posizione.

Azzerare il totale non elimina l’operazione sulla curva

Supponiamo di detenere B e vendere allo scoperto 10 milioni di A. Il DV01 netto per nodo diventa [1.201,92; −4.807,69; 3.605,77]. La somma è zero. La rotazione precedente perde comunque 115.079 dollari: il titolo a cinque anni non si muove e non offre compensazione.

La stima lineare −Σ(DV01 locale × shock in punti base) prevede una perdita di 120.192 dollari, circa 5.113 in più della rivalutazione esatta. Il vettore corretto rimane un’approssimazione locale. L’analisi della convessità obbligazionaria di FastBull tratta questo diverso errore di valutazione.

La posizione lunga B e corta A guadagna circa 427 dollari con il rialzo parallelo e 358.460 nel terzo scenario, prima dei costi. Sono profitti monetari, non rendimenti da dividere per un valore netto iniziale nullo. Posizioni lorde, garanzie e prestito titoli richiedono comunque capitale e liquidità.

Progettare la copertura sul rischio residuo

Disponete le sensibilità monetarie degli strumenti disponibili come colonne di una matrice e cercate quantità che riducano il vettore obiettivo. Un unico titolo a cinque anni di norma non neutralizza due esposizioni indipendenti a due e dieci anni. Se non esiste un abbinamento preciso, indicate il residuo e gli shock che lo penalizzano.

Per attività destinate a coprire passività, confrontate sensibilità monetarie: duration uguali su valori diversi non eliminano il rischio. I futures aggiungono paniere consegnabile, titolo più conveniente da consegnare, fattori di conversione e base. L’esempio su titoli a pronti non risolve queste componenti.

Quattro controlli prima di parlare di neutralità

1. Uniformare data, valuta, curva, capitalizzazione, nodi e interpolazione di tutte le posizioni.
2. Confrontare la somma dei DV01 locali con un calcolo indipendente del DV01 parallelo.
3. Rivalutare spostamenti paralleli, irripidimenti, appiattimenti e variazioni della parte centrale; separare credito, volatilità e base.
4. Includere finanziamento ed esecuzione, fissare perdite tollerabili in moneta e ricalcolare dopo cambiamenti del mercato o delle posizioni.

La duration per nodo non prevede il prossimo movimento né la sua probabilità. Serve a stabilire se la copertura ha eliminato il rischio giusto, anziché nasconderlo dietro un totale pari a zero.