Convessità obbligazionaria: quando la duration non basta

La duration è utile se il suo errore non cambia la decisione. Su un’obbligazione lunga, uno scarto apparentemente modesto può incidere sulla dimensione della posizione o sui limiti di rischio. La convessità corregge la curvatura del prezzo; non rende esatta una stima per grandi shock e non neutralizza le deformazioni della curva dei rendimenti.

Lo shock di 200 punti base

Consideriamo uno zero coupon ipotetico che paga 100 esattamente tra 20 anni. Con rendimento a scadenza del 4% e capitalizzazione annuale, il prezzo è 100÷1,04²⁰＝45,6387. Non ci sono cedole intermedie né opzioni incorporate. I flussi restano fissi, il tempo non trascorre e sono esclusi imposte, negoziazione, finanziamento e cambio. È una rivalutazione istantanea, non il rendimento di un periodo di detenzione.

Ponendo il valore di mercato iniziale pari a 100, un rendimento al 2% porta il valore esatto a 147,46: +47,46%. La duration da sola indica 138,46. Al 6%, invece, i valori sono 68,32 e 61,54. La curva del prezzo sta sopra la tangente: la stima lineare sottovaluta il guadagno e amplifica la perdita.

Come applicare la correzione

La duration modificata D è 20÷1,04＝19,2308 e la convessità C è 20×21÷1,04²＝388,3136. La variazione relativa si approssima con −D×Δy＋½C×Δy². Per 100 punti base si usa 0,01, non 1 o 100. Duration di Macaulay, modificata ed effettiva non si possono scambiare senza verificarne definizioni e convenzioni.

La valutazione normalizzata esatta è 100×[1,04÷(1,04＋Δy)]²⁰. La tabella cambia soltanto il rendimento. I numeri sono valori: sottraendo 100 si ricava il rendimento percentuale.

A −200 punti base la correzione dà 146,23, ancora 1,23 punti sotto il valore esatto. A +200 produce 69,30, circa 0,98 punti in più. Restano termini di ordine superiore e l’errore non è simmetrico. Aggiungere la convessità è un miglioramento, non una certificazione di esattezza.

Decidere in base all’errore tollerato

Se la tolleranza è lo 0,10% del valore corrente, il filtro ½C×Δy²＝0,001 restituisce circa 22,69 punti base. Non è un limite rigoroso dell’errore: segnala quando passare alla rivalutazione completa. Per questo titolo, aspettare sempre uno shock di 100 punti base sarebbe una soglia troppo larga.

Già a ±25 punti base l’errore lineare è vicino a 0,12 punti di valore. Su un milione equivale a circa 1.200 nella valuta di valutazione. Per controllare un limite occorrono dati non arrotondati; un’altra convessità implica una soglia diversa. La guida FastBull al calcolo del DV01 traduce la sensibilità di primo ordine in denaro: sensibilità ed errore di approssimazione vanno distinti, pur confrontandoli nella stessa valuta.

Più convessità non significa protezione universale

Un portafoglio barbell, metà del valore iniziale in uno zero a 10 anni e metà in uno a 30, tutti al 4%, ha la stessa duration modificata del titolo a 20 anni: 19,2308. La convessità è però 480,7692. Per uno spostamento parallelo istantaneo di 100 punti base, il contributo aggiuntivo di secondo ordine è ½×(480,7692−388,3136)×0,01², circa lo 0,46% del valore iniziale.

Ora il rendimento a 10 anni scende al 3%, il 30 anni sale al 5% e il 20 anni resta al 4%. Il barbell vale 50×(1,04/1,03)¹⁰＋50×(1,04/1,05)³⁰＝92,59, mentre il titolo a 20 anni resta a 100. La torsione sfavorevole della curva prevale sulla maggiore convessità. Anche credito, liquidità, finanziamento e prezzo d’acquisto impediscono di considerare il vantaggio un rendimento gratuito.

Il controllo sullo strumento effettivamente detenuto

Verificare regolamento, date dei flussi, frequenza cedolare e prezzo tel quel, comprensivo del rateo. La capitalizzazione deve corrispondere ai flussi; gli indicatori semestrali non entrano invariati in questo caso annuale. Rivalutare entrambi i versi dello shock e misurare lo scarto in valuta e in percentuale del valore iniziale. Per un portafoglio, muovere anche i singoli nodi della curva.

Titoli richiamabili e strumenti garantiti da mutui possono cambiare flussi quando calano i tassi. Rimborsi anticipati e rifinanziamenti frenano l’apprezzamento e possono determinare convessità negativa in alcuni intervalli: serve un modello sensibile alle opzioni. Infine separare il rischio immediato da cedole successive, reinvestimento, finanziamento e trascorrere del tempo. La qualità della stima si misura rispetto alla tolleranza stabilita, negli scenari davvero rilevanti.