Il VaR non è la perdita massima: come leggere Expected Shortfall e limiti di rischio

Un VaR giornaliero al 95% di 2.000 dollari non garantisce che domani la perdita resterà entro 2.000 dollari. Individua un quantile della distribuzione adottata, non un tetto. L’Expected Shortfall, o ES, misura la perdita media nella coda selezionata. Aggiunge una misura della gravità degli esiti peggiori, ma non trasforma neppure quella media in una perdita massima.

Prima delle cifre, fissare le convenzioni

Orizzonte, livello di confidenza, valuta, posizioni e segno delle perdite devono essere comparabili. Qui una perdita è positiva, un guadagno negativo. Consideriamo un portafoglio fisso da 100.000 dollari e 100 scenari giornalieri equiponderati. Il VaR al 95% è la minore perdita per cui la probabilità cumulata raggiunge almeno il 95%: ordinando i valori dal minore al maggiore, scegliamo il 95° senza interpolazione.

L’ES allo stesso livello media il peggior 5% della massa di probabilità. Il primo indicatore colloca una frontiera; il secondo descrive la perdita media nella porzione scelta. Il 95% non è la probabilità che il modello sia corretto. Confrontare direttamente VaR a un giorno e 95% con ES a dieci giorni e 99% non permette di stabilire quale portafoglio sia più sicuro.

Stesso VaR, code di rischio molto diverse

Costruiamo due campioni ipotetici, A e B. I primi 90 valori ordinati sono zero; dal 91° al 95° sono 1.000, 1.200, 1.400, 1.600 e 2.000 dollari. Cambiano soltanto gli ultimi cinque. È un esercizio riproducibile, non una serie storica di mercato.

I VaR al 95% sono entrambi 2.000 dollari. L’ES di A vale (2100 + 2200 + 2300 + 2400 + 2500) / 5 = 2.300 dollari. Quello di B è (2100 + 2400 + 3000 + 5500 + 12000) / 5 = 5.000 dollari. La frontiera è il 2% del valore iniziale in entrambi i casi, mentre la coda perde in media il 2,3% e il 5%.

Il peggior valore osservato di B rimane 12.000 dollari. L’ES non è né il massimo né la media dell’intero campione. Anche il massimo osservato non esclude uno shock futuro più ampio. Un rapporto che mostri soltanto il VaR può quindi nascondere una differenza decisiva nella capacità di assorbire perdite.

Al 97,5% serve un peso frazionario

Il peggior 2,5% di 100 scenari equiponderati include i due peggiori per intero e metà del peso del terzo. Nella convenzione adottata, il VaR al 97,5% di B è il 98° valore, pari a 3.000 dollari. L’ES è invece:

(12000 + 5500 + 0,5 × 3000) / 2,5 = 7.600 dollari.

Mediare solo le perdite strettamente superiori a 3.000 produce 8.750 dollari, ma seleziona appena il 2% della probabilità. Includere tre valori interi significa selezionarne il 3%. Il mezzo peso riguarda la probabilità, non una mezza seduta reale. Anche quando più osservazioni coincidono con la soglia, va inclusa soltanto la massa necessaria. Le impostazioni di interpolazione dei software possono differire: chiarire il metodo viene prima di cercare un errore nei dati.

Rispettare un limite non significa superare ogni verifica

Supponiamo limiti interni omogenei, a un giorno e 95%: VaR di 2.500 dollari ed ES di 4.000. B rispetta il primo ma supera il secondo. Non è una contraddizione: le soglie controllano caratteristiche diverse della distribuzione. Scegliere il dato più rassicurante non modifica la coda.

Per esposizioni strettamente lineari, scenari invariati e assenza di costi aggiuntivi, ridurre tutte le posizioni all’80% riduce ogni perdita modellizzata all’80%. B avrebbe VaR di 1.600 dollari, ES di 4.000 e massimo campionario di 9.600. È una sensibilità del modello, non la prova che quella posizione sia sicura o liquidabile a tali condizioni. Opzioni, impatto di mercato, finanziamento e coperture modificate richiedono una nuova valutazione. Portare la stima esattamente al limite non lascia nemmeno un margine per l’errore statistico.

L’ES non ripara un modello incompleto

La simulazione storica applica movimenti passati dei fattori di rischio alle posizioni attuali mantenute fisse. Il conto economico giornaliero effettivo può invece incorporare versamenti, prelievi, leva variabile e operazioni discrezionali. Ordinare quei risultati può rispondere a una domanda diversa. Prima del calcolo verificare operazioni societarie, prezzi non aggiornati, dati mancanti, conversioni valutarie e commissioni.

Cento scenari lasciano soltanto cinque valori nella coda al 95%. Una finestra tranquilla può non contenere crisi; una troppo lunga può attenuare un nuovo regime di volatilità. Confrontare finestre e ponderazioni e aggiungere shock di liquidità, correlazione e discontinuità dei prezzi esterni al campione. Uno stop non garantisce il prezzo di uscita dopo un salto notturno.

Moltiplicare una misura giornaliera per la radice quadrata di dieci non dà automaticamente il rischio corretto a dieci giorni. La scala esatta dei quantili richiede un modello adatto: per esempio incrementi normali indipendenti e identicamente distribuiti, esposizione lineare fissa, volatilità stabile e media trattata separatamente. Dipendenza temporale, salti e payoff non lineari possono invalidare la scorciatoia.

Una verifica che un collega possa ripetere

Archiviare posizioni, metodo di valutazione, date degli scenari, pesi e unità di perdita. Ordinare le perdite, annotare il rango del quantile e mediare esattamente la probabilità di coda richiesta, includendo pesi parziali. Confrontare con un calcolo indipendente prima di applicare limiti definiti sulla stessa base. Importi, percentuali patrimoniali e margini non sono unità intercambiabili.

Successivamente verificare previsioni formulate prima delle perdite su osservazioni davvero fuori campione. Un modello continuo ben calibrato al 95% implica cinque superamenti attesi in 100 osservazioni indipendenti, non cinque obbligatori. Contano anche concentrazione e gravità. La numerosità del campione e la fiducia in un tasso di successo aiutano a distinguere una stima da una prova.

Il verbale finale deve separare il rispetto del limite, l’esito degli stress e le ipotesi che renderebbero la stima non valida. VaR ed ES descrivono il rischio; non obbligano il mercato a fermare lì le perdite.