La VaR ne plafonne pas les pertes : lire l’Expected Shortfall avant de valider une limite

Une VaR journalière à 95 % de 2 000 dollars ne signifie pas que la perte de demain sera plafonnée à ce montant. Elle situe un quantile dans une distribution de pertes donnée. Au-delà, la perte peut être à peine supérieure ou beaucoup plus lourde. L’Expected Shortfall, ou ES, mesure la moyenne de la queue retenue, pas davantage une perte maximale garantie.

Lire les conventions avant le résultat

La VaR n’a de sens qu’avec un horizon, un niveau de confiance, une devise, des positions et une convention de signe. Ici, une perte est positive et un gain négatif. Nous considérons un portefeuille fixe de 100 000 dollars et 100 scénarios journaliers équipondérés. La VaR à 95 % est le plus petit montant dont la probabilité cumulée atteint au moins 95 %. Dans l’échantillon classé par pertes croissantes, nous retenons la 95e observation, sans interpolation.

L’ES au même niveau correspond à la perte moyenne sur les 5 % de probabilité les plus défavorables. La VaR localise la frontière ; l’ES décrit la gravité moyenne de cette queue. Le chiffre de 95 % n’est pas la probabilité que le modèle soit juste. Comparer une VaR à un jour et 95 % avec un ES à dix jours et 99 % ne permet pas non plus de classer directement la sécurité de deux portefeuilles.

Même frontière, pertes extrêmes très différentes

Construisons deux échantillons fictifs, A et B. Leurs 90 premières observations valent zéro ; les observations 91 à 95 valent 1 000, 1 200, 1 400, 1 600 et 2 000 dollars. Seules les cinq dernières diffèrent. Il s’agit d’un exercice reproductible, pas d’un historique de marché.

Les deux VaR à 95 % sont de 2 000 dollars. Pour A, l’ES vaut (2100 + 2200 + 2300 + 2400 + 2500) / 5 = 2 300 dollars. Pour B, il vaut (2100 + 2400 + 3000 + 5500 + 12000) / 5 = 5 000 dollars. Le seuil représente donc 2 % du portefeuille dans les deux cas, mais la moyenne de la queue atteint respectivement 2,3 % et 5 %.

La perte maximale observée de B reste 12 000 dollars. L’ES n’est ni cette observation extrême ni la moyenne de tout l’échantillon. Et le maximum de l’échantillon ne borne pas une crise future absente des scénarios. Une seule valeur ne remplace pas la lecture de la distribution.

À 97,5 %, il faut conserver la bonne masse de probabilité

Avec 100 scénarios de même poids, la queue de 2,5 % contient les deux pires observations et la moitié du poids de la troisième. Selon notre convention, la VaR à 97,5 % de B est sa 98e observation, soit 3 000 dollars. Son ES devient :

(12000 + 5500 + 0,5 × 3000) / 2,5 = 7 600 dollars.

Prendre seulement les pertes strictement supérieures à 3 000 dollars donne 8 750 dollars, mais couvre 2 %, non 2,5 %. Retenir trois observations entières couvre 3 %. Le demi-poids représente une probabilité, pas une demi-journée réelle. Les valeurs identiques au seuil demandent la même attention : n’inclure que la masse nécessaire. Les règles d’interpolation des logiciels varient ; vérifier la convention évite de confondre un écart de méthode avec une erreur de données.

Une limite respectée peut en masquer une autre dépassée

Supposons deux limites internes à un jour et 95 % : 2 500 dollars pour la VaR et 4 000 pour l’ES. B respecte la première, dépasse la seconde. Aucune contradiction : chaque limite vise une propriété différente. Retenir le seul indicateur favorable ne réduit pas le risque de queue.

Avec une exposition strictement linéaire, des scénarios inchangés et aucun coût additionnel, ramener toutes les positions à 80 % réduit chaque perte modélisée dans la même proportion. La VaR devient 1 600 dollars, l’ES 4 000 et le pire scénario 9 600. C’est une sensibilité de modèle, pas une preuve qu’une exposition de 80 % sera sûre ou réalisable. Options, impact de marché, financement et modification des couvertures imposent une réévaluation. Une limite juste égale à l’estimation laisse aussi peu de place à l’erreur statistique.

L’ES ne corrige pas les angles morts du modèle

Une simulation historique applique normalement les variations passées des facteurs de risque aux positions actuelles, maintenues fixes. Les résultats quotidiens réellement encaissés sur un compte incluent parfois flux de trésorerie, levier variable et nouvelles transactions. Les trier répond alors à une autre question. Vérifier ajustements liés aux opérations sur titres, cours périmés, données manquantes, conversions de devises et frais précède tout calcul utile.

Cent scénarios ne laissent que cinq observations dans la queue à 95 %. Une période calme peut ignorer les crises ; allonger excessivement la fenêtre peut diluer un nouveau régime de volatilité. Tester plusieurs fenêtres et pondérations, puis ajouter des chocs de liquidité, de corrélation et de discontinuité des cours. Un ordre stop ne garantit pas son prix d’exécution après un saut de marché.

Multiplier une mesure journalière par la racine carrée de dix ne produit pas automatiquement une mesure correcte à dix jours. Une telle mise à l’échelle exacte des quantiles suppose un modèle adapté, par exemple des incréments normaux indépendants et de même distribution, une exposition linéaire fixe, une volatilité stable et une moyenne traitée séparément. Dépendance temporelle, sauts et non-linéarités invalident ce raccourci.

Conserver une piste de contrôle exploitable

Archiver positions, méthode de valorisation, dates des scénarios, poids et unité des pertes. Classer les pertes, noter le rang du quantile et moyenner exactement la probabilité de queue demandée, avec un poids partiel si nécessaire. Faire un second calcul indépendant avant de comparer le résultat à une limite de même nature. Montant, pourcentage des fonds propres et marge immobilisée ne sont pas interchangeables.

Contrôler ensuite les prévisions établies avant les pertes sur des observations réellement hors échantillon. Un modèle continu à 95 % bien calibré donne cinq dépassements attendus sur 100 observations indépendantes, pas cinq dépassements obligatoires. Leur concentration et leur gravité comptent autant que leur nombre. L’effet de la taille d’échantillon sur la confiance dans un taux de réussite aide à distinguer estimation et preuve.

Le compte rendu doit séparer trois conclusions : limite respectée ou non, résultats des stress et hypothèses dont la rupture rendrait l’estimation caduque. La VaR et l’ES décrivent le risque ; aucune des deux ne l’arrête à un montant précis.