USD/JPY recule de 10 % : pourquoi le yen gagne 11,11 % et non 10 %

Lorsque l’USD/JPY passe de 150 à 135, le dollar perd 10 % face au yen. Sur la même période, le yen s’apprécie pourtant de 11,11 % face au dollar. Les deux mesures sont exactes : elles expriment le prix d’une monnaie dans l’autre, avec des dénominateurs différents.

L’écart ne constitue ni un gain supplémentaire ni une possibilité d’arbitrage. Il devient important dès que l’on compare la force de deux monnaies ou que l’on rapproche un graphique d’un solde en devises. Les cours et les montants qui suivent sont hypothétiques ; les intérêts et les frais sont exclus, sauf lorsque la fourchette achat/vente est explicitement introduite.

La bonne question : combien de yens pour un dollar ?

Une cotation USD/JPY de 150 signifie 150 yens pour 1 dollar. Son inverse, JPY/USD, vaut 1/150 dollar par yen. À 135 yens pour un dollar, chaque yen vaut désormais 1/135 dollar. Le pouvoir d’achat du dollar en yens diminue tandis que celui du yen en dollars augmente.

La variation de l’USD/JPY est 135/150 − 1 = −10 %. Celle du cours inverse est (1/135)/(1/150) − 1 = 150/135 − 1 = +11,11 %. Changer seulement le signe de −10 % conserve implicitement le mauvais dénominateur. Ce n’est pas une question de précision du graphique, mais de définition du prix mesuré.

Inverser le facteur de variation, pas seulement son signe

Notons Q le nombre d’unités de la monnaie de cotation pour une unité de la monnaie de base, avec Q0 et Q1 strictement positifs. La variation simple est r = Q1/Q0 − 1. Pour le cours inverse, elle devient s = Q0/Q1 − 1, soit s = −r/(1+r). Ainsi, (1+r)(1+s) = 1. Les rendements doivent être saisis sous forme décimale : −10 % correspond à −0,10.

Une baisse de 20 % du cours initial correspond donc à une hausse de 25 % du cours inverse. Pour de très petites variations, s ≈ −r peut servir d’approximation ; l’erreur augmente avec l’amplitude du mouvement. Cette approximation ne suffit pas pour vérifier un montant de change au centime près.

Il faut aussi distinguer inversion de la cotation et succession dans le temps. Une baisse de 10 %, suivie d’une hausse de 10 %, donne 150 × 0,90 × 1,10 = 148,5. Revenir de 135 à 150 exige une hausse de 11,11 %. Le changement de dénominateur explique ces deux phénomènes, sans en faire deux transactions équivalentes.

Vérifier le résultat à partir d’un avoir en yens

Un détenteur de 10 000 dollars les convertit à 150 et reçoit 1 500 000 yens. Il conserve ces yens sans rémunération, puis les reconvertit à 135. Il récupère 11 111,11 dollars, soit un rendement de 11,11 % par rapport à ses 10 000 dollars initiaux. Ce rendement correspond à l’appréciation du yen exprimée en dollars, non à la baisse de 10 % affichée par l’USD/JPY.

Il s’agit d’une conversion au comptant entièrement financée, pas du calcul d’une position vendeuse avec effet de levier. Un contrat peut régler les gains en yens puis les convertir dans la devise du compte selon ses propres règles. Le rendement peut aussi être rapporté aux fonds propres ou à la marge déposée. Multiplier directement cette marge par 11,11 % ne permet donc pas de calculer le résultat de la position.

Avant de comparer deux performances, préciser ce qui est détenu, la monnaie dans laquelle le résultat est mesuré et le capital initial retenu au dénominateur. La seule variation d’un cours ne renseigne ni sur le financement ni sur les flux intervenus dans le compte.

Pour une conversion réelle, choisir le bon côté de la fourchette

Supposons une cotation achat/vente de 150,00/150,04 au départ et de 135,00/135,04 à l’arrivée. Le client vend d’abord des dollars au cours acheteur de 150,00, puis rachète des dollars au cours vendeur de 135,04. Son solde final est donc 1 500 000/135,04 = 11 107,82 dollars. Le rendement atteint environ 11,0782 %, avant les frais facturés séparément.

Les 3,29 dollars de moins que dans le cas sans écart achat/vente sont déjà incorporés aux prix utilisés. Déduire une seconde fois le même écart reviendrait à compter deux fois ce coût. En revanche, une commission distincte, des frais de conversion ou les intérêts servis sur l’avoir doivent encore figurer dans le rapprochement.

L’inversion d’une fourchette échange également ses deux côtés : cours acheteur inverse = 1/cours vendeur initial ; cours vendeur inverse = 1/cours acheteur initial. Pour suivre le sens des transactions, voir le calcul des cours croisés et des fourchettes de change inversées. Un cours de référence ou un cours médian peut servir à étudier une variation, sans garantir qu’un échange est réalisable à ce niveau.

Les rendements logarithmiques sont symétriques, les rendements simples ne le sont pas

À méthode de mesure identique, le rendement logarithmique est ln(Q1/Q0). Celui de la cotation inverse vaut ln(Q0/Q1), soit exactement son opposé. Cette propriété facilite l’harmonisation du sens des cotations dans une étude et l’addition des variations sur plusieurs périodes.

Elle ne rend pas symétrique le rendement d’un solde en espèces. Pour passer d’un rendement logarithmique g à un rendement simple, il faut calculer exp(g) − 1. Présenter directement g comme le pourcentage gagné sur le capital du compte mélangerait deux mesures. De même, aligner le sens des paires ne suffit pas si leurs heures d’observation ou leurs monnaies de référence diffèrent.

Une méthode de contrôle en trois étapes

D’abord, écrire les unités, par exemple « yens par dollar », puis aligner les dates, les heures, la source et la convention de prix. Une série de cours acheteurs ne peut pas être remplacée silencieusement par une série de cours médians. Les comparaisons doivent porter sur le même intervalle et le même instrument.

Ensuite, calculer Q1/Q0 et son inverse avant de retrancher 1. Pour deux cotations strictement réciproques, le produit des facteurs vaut 1. Un écart doit conduire à vérifier les arrondis, une inversion des dates, le mélange des côtés achat/vente ou l’utilisation de produits différents. Conserver la précision des calculs intermédiaires, puis arrondir les résultats présentés.

Enfin, pour mesurer ce que l’argent a réellement rapporté, reconstituer les conversions : prix exécutés, commissions, intérêts et règles de règlement du contrat. Dans cet exemple sans apport ni retrait en cours de période, le résultat net se divise par le capital de départ. Si des fonds entrent ou sortent entre les deux dates, il faut aussi tenir compte du montant et du calendrier de ces flux pour mesurer la performance. Une exécution différente ou un effet de levier modifie le rendement du compte, mais pas l’identité mathématique entre deux cours positifs réciproques.