Calculer un taux de change croisé : cours acheteur, vendeur et arbitrage

Un taux croisé calculé à partir de cours moyens est une référence, pas nécessairement un prix auquel on peut traiter. Pour savoir quelle conversion est la moins coûteuse, il faut suivre les sommes réellement cédées et reçues à chaque étape. Une meilleure route à l'aller ne suffit pas à rendre l'aller-retour rentable. C'est précisément ce que masque un calcul d'arbitrage triangulaire fondé uniquement sur des milieux de fourchette.

Le cours acheteur est celui de l'intermédiaire

EUR/USD indique le nombre de dollars pour un euro. L'euro est la devise de base. Avec une cotation de 1.1000/1.1002, l'intermédiaire achète l'euro à 1.1000 et le vend à 1.1002 : le client vend donc au premier cours et achète au second. Inverser ce point de vue suffit à fabriquer un gain fictif.

Les chiffres qui suivent sont des hypothèses pédagogiques, et non des cours actuels. On suppose des prix fermes au même instant, accessibles au même intervenant, des montants disponibles suffisants et une date de valeur identique au comptant. Les commissions supplémentaires sont d'abord exclues. Le point décimal est conservé dans les cotations et les calculs.

EUR/JPY : deux ventes successives, deux cours acheteurs

Vendre 10 000 euros à 1.1000 procure 11 000 dollars. Vendre ensuite ces dollars à 150.00 procure 1 650 000 yens. Le cours acheteur synthétique EUR/JPY vaut donc 1.1000 × 150.00 = 165.000000. Les unités se simplifient : dollars par euro multipliés par yens par dollar donnent des yens par euro.

Pour acheter 10 000 euros avec des yens, il faut au contraire 11 002 dollars. Leur acquisition coûte 11 002 × 150.04 = 1 650 740.08 yens. Le cours vendeur synthétique est 1.1002 × 150.04 = 165.074008. Ces décimales décrivent le calcul, pas un pas de cotation négociable. L'écart de 740.08 yens pour ce montant traduit les deux fourchettes, avant commissions. Les cours moyens le feraient disparaître artificiellement.

EUR/GBP : pourquoi le dénominateur prend l'autre côté

Les deux devises étant cotées contre dollar, convertir des euros en livres consiste à vendre les euros au cours acheteur EUR/USD puis à acheter les livres au cours vendeur GBP/USD. Le cours acheteur croisé est 1.1000 ÷ 1.2503 ≈ 0.87978885. Son cours vendeur est 1.1002 ÷ 1.2500 = 0.88016. Diviser les deux cours acheteurs ne décrit pas ces flux.

Pour A/C et B/C, le cours acheteur de A/B est l'acheteur du premier divisé par le vendeur du second ; le vendeur utilise les côtés opposés. Même vigilance avec une cotation inverse : USD/EUR s'obtient à 1/1.1002 ≈ 0.90892565 à l'achat et 1/1.1000 ≈ 0.90909091 à la vente. Prendre les inverses sans permuter les colonnes crée une fourchette inversée dans le tableur, pas une anomalie de marché démontrée.

Une route plus avantageuse n'est pas une boucle gagnante

Supposons EUR/JPY directement coté 164.99/165.08. Le circuit dollar, 165.000000/165.074008, améliore légèrement les deux côtés selon les hypothèses retenues. Pourtant les fourchettes se recouvrent. Vendre 10 000 euros par ce circuit, puis racheter des euros au vendeur direct de 165.08, laisse 9995.15 euros. La perte atteint environ 4.85 euros avant frais supplémentaires.

Un écart brut exploitable supposerait que l'acheteur direct dépasse le vendeur synthétique, ou l'acheteur synthétique le vendeur direct. Il faut ensuite retrancher tous les coûts dans une devise commune, avec des montants, dates de valeur et conditions d'accès identiques. Deux milieux de fourchette différents ne suffisent pas ; des cotations non simultanées non plus.

Les contraintes que la formule ne résout pas

Le meilleur cours affiché peut porter sur un faible montant. Une opération plus importante exige alors de calculer un prix pondéré par les volumes réellement disponibles. Un cours indicatif, retardé ou réservé à une autre relation de crédit ne constitue pas une offre ferme pour votre compte.

Le risque porte aussi sur l'enchaînement : si la vente d'euros aboutit mais pas la vente des dollars contre yens, il reste une exposition au dollar. Le fonctionnement des ordres à cours limité et des exécutions partielles rappelle qu'un prix encadré n'assure pas une exécution intégrale. Des jours fériés distincts peuvent décaler les dates de valeur et créer un coût de financement. Contrats à terme et produits réglés en espèces ne remplacent pas automatiquement un échange livrable au comptant.

Le contrôle avant de qualifier un écart d'arbitrage

1. Écrire la devise détenue, celle recherchée et les unités de chaque prix.
2. Relever les deux côtés, l'heure, les montants et la date de valeur accessibles au même compte.
3. Décomposer chaque étape en achat ou vente. Garder la précision intermédiaire puis arrondir selon les règles de devise et d'exécution.
4. Ramener commissions, minima et financement dans une même devise ; ne pas additionner directement des points à des montants.
5. Calculer le retour au côté exécutable opposé et vérifier la possibilité de traiter chaque montant sans reliquat indésirable.
6. Rapprocher les confirmations et les soldes. Si les entrées sont des cours moyens, le résultat reste théorique.

Le taux croisé permet surtout de rendre les coûts lisibles. La démonstration repose sur une chaîne complète de règlements, pas sur un écart séduisant à l'écran.