Sharpe ou Sortino : pourquoi deux rendements moyens identiques donnent des classements opposés

Un ratio de Sharpe élevé ne signifie pas moins de mois perdants. Un bon Sortino ne garantit pas non plus une résistance aux krachs. Le premier rapporte le rendement excédentaire à sa variabilité totale ; le second mesure les écarts défavorables par rapport à un objectif. La définition du risque précède donc le classement.

Prenons deux stratégies fictives affichant la même moyenne mensuelle. Sans modifier les observations, le changement de dénominateur suffit à inverser leur ordre. Ces six mois servent à vérifier les calculs, pas à démontrer la qualité durable d’un gérant.

Commencer par des rendements comparables

Même devise, même fréquence, traitement cohérent des distributions réinvesties et des frais : ces conditions sont indispensables. Les apports et retraits externes doivent être séparés de la performance. Un rendement rapporté à la totalité des fonds propres ne se compare pas directement à un rendement calculé sur la seule marge d’un contrat à terme.

Pour chaque période, d est le rendement de la stratégie moins le rendement sans risque de cette période. Le Sharpe historique est la moyenne arithmétique de d divisée par son écart-type d’échantillon, calculé avec n−1. Si le taux sans risque varie, il faut le soustraire mois par mois avant de mesurer la dispersion.

Ici, rendement sans risque mensuel et objectif T valent zéro. L’écart baissier retenu est √[Σmin(r−T,0)²/n]. Sortino rapporte la moyenne mensuelle moins T à cet écart. Le dénominateur n comprend tous les mois, y compris ceux qui dépassent l’objectif. Une autre convention impose un recalcul avant comparaison.

Une moyenne de 1 %, deux lectures du risque

A réalise successivement −2 %, −1 %, 1 %, 2 %, 3 % et 3 %. B affiche −1 %, −1 %, −1 %, −1 %, 2 % et 8 %. Les deux moyennes sont de 1 %. Le tableau présente des mesures mensuelles non annualisées.

Les écarts au rendement moyen, élevés au carré, totalisent 22 pour A et 66 pour B, en points de pourcentage au carré. Les écarts-types sont donc √(22/5)=2,0976 % et √(66/5)=3,6332 %. Sharpe favorise A : 0,4767 contre 0,2752.

Sous l’objectif nul, la somme des carrés vaut 5 pour A et 4 pour B. Les écarts baissiers sont √(5/6)=0,9129 % et √(4/6)=0,8165 %. Sortino place B devant A : 1,2247 contre 1,0954. B perd plus souvent, mais ses déficits observés sont moins profonds ; son mois à 8 % augmente la volatilité totale sans entrer dans l’écart baissier.

Les rendements composés sur six mois sont pourtant d’environ 6,0370 % pour A et 5,8193 % pour B. Une moyenne identique ne produit pas la même richesse finale. Remplacer le mois à 8 % de B par 2 % ramène sa moyenne et ses deux ratios à zéro : le résultat dépend fortement d’une observation.

L’objectif et le nombre d’observations changent le résultat

Avec un objectif mensuel de 1 %, un rendement positif de 0,5 % constitue un déficit. Avec un objectif nul, non. Fixer le seuil après avoir vu les résultats revient à déplacer la question. Un indicateur amélioré par un objectif abaissé ne prouve pas que le besoin initial sera mieux satisfait.

Diviser les pertes au carré de A par ses deux mois négatifs, au lieu des six mois, donne √(5/2)=1,5811 % et un Sortino de 0,6325. La stratégie n’a pas changé ; la mesure, si. Deux fournisseurs appliquant des conventions différentes ne livrent pas des chiffres directement classables.

Un objectif annuel effectif de 5 % correspond à (1,05)^(1/12)−1, soit environ 0,4074 % par mois. Le calcul 5 %/12 donne 0,4167 %, une répartition simple et non une équivalence composée exacte. Atteindre chaque objectif mensuel reste différent d’atteindre l’objectif sur l’année.

Si tous les mois dépassent le seuil, l’écart baissier est nul et le quotient ordinaire n’a pas de valeur finie. Ce n’est pas une preuve d’excellence infinie : l’échantillon peut être trop court ou les valorisations trop peu fréquentes pour révéler les pertes possibles.

Annualisation, valeurs négatives et levier

Multiplier le Sharpe mensuel par √12 repose sur des hypothèses d’agrégation et de dépendance temporelle. En présence d’autocorrélation, la variance d’une somme annuelle comprend aussi les covariances entre mois. Des prix peu actualisés peuvent donner une impression trompeuse de régularité.

Sortino ne se prête pas automatiquement à la même règle. Sélectionner les déficits mensuels puis les agréger n’équivaut pas à calculer le rendement annuel avant de mesurer son déficit. Il faut préciser horizon, conversion de l’objectif et estimateur ; un coefficient ne transforme pas six mois en preuve annuelle solide.

Une moyenne excédentaire de −1 % donne un Sharpe de −0,50 avec 2 % de volatilité, mais de −0,25 avec 4 %. La valeur supérieure provient ici d’un risque plus élevé, pas d’une meilleure moyenne. Présenter d’abord le déficit évite de traiter un classement négatif comme un classement positif.

Dans un modèle sans frictions, multiplier proportionnellement les rendements excédentaires ne modifie pas Sharpe. Financement, appels de marge, liquidations et frais non linéaires peuvent rompre cette propriété. Sortino dépend également du traitement de l’objectif. Aucun de ces ratios ne fixe, seul, la taille appropriée d’une position.

Ce que les deux ratios ne voient pas encore

Une stratégie accumulant de petits gains avant une grosse perte rare peut paraître excellente tant que celle-ci manque à l’historique. Les deux mesures ne créent pas les observations absentes : crise de liquidité, saut de prix ou pertes non linéaires sur options vendues.

Examiner les pires mois, la concentration des pertes, les baisses depuis un sommet et le temps de récupération. Des scénarios de stress explicites complètent le passé observé. Les fenêtres glissantes révèlent une dépendance à quelques mois, à condition de fixer leur règle avant d’examiner les scores.

Pour une allocation dans un portefeuille existant, étudier aussi corrélation, covariance et contributions au risque. Le classement isolé d’un actif et son effet sur l’ensemble ne répondent pas à la même question. Cela ne justifie pas pour autant d’acheter systématiquement les actifs mal classés.

Six contrôles avant de retenir un classement

1. Réconcilier séries complètes, devise, distributions, frais, flux externes, données manquantes et dates de valorisation.
2. Indiquer séparément taux sans risque et objectif, avec une fréquence cohérente.
3. Recalculer les deux dispersions et identifier précisément les dénominateurs n−1 et n.
4. Distinguer moyenne arithmétique, rendement composé et ratios ; signaler divisions par zéro et numérateurs négatifs.
5. Contrôler mois extrêmes, queues de distribution, autocorrélation et stabilité ; documenter l’annualisation.
6. Revenir au portefeuille réel, à son financement, à sa liquidité et à ses contraintes de perte.

Un classement est plus convaincant s’il résiste à des variations raisonnables d’objectif, de période et de coûts, sans changer la question. Si une observation ou une convention de calcul renverse le verdict, cette fragilité doit apparaître dans l’analyse, pas disparaître derrière le meilleur chiffre.