Un portefeuille vraiment diversifié ? Calculer corrélation et contributions au risque

Dix fonds ne représentent pas nécessairement dix sources de rendement indépendantes. S'ils détiennent les mêmes grandes valeurs technologiques ou dépendent tous de taux bas et d'une même devise, la diversité des noms masque une exposition commune. Compter les lignes du portefeuille ne suffit pas.

L'examen doit séparer les expositions économiques, la répartition du risque mesuré et les pertes dans un scénario défavorable. Où se trouve le capital, quel actif domine les fluctuations et que se passe-t-il au moment de vendre sont trois questions différentes. Les actifs utilisés ici sont fictifs : aucune relation permanente entre actions et obligations n'est supposée.

La corrélation ne donne ni causalité ni probabilité de hausse

Compris entre −1 et +1, le coefficient mesure la liaison linéaire entre rendements. Une valeur positive traduit des écarts aux moyennes respectives allant plutôt dans le même sens ; une valeur négative, des écarts opposés. Il ne mesure pas la probabilité que les deux cours montent. Une corrélation nulle n'implique pas l'indépendance, ni l'absence de pertes extrêmes simultanées.

Il faut comparer des rendements homogènes, pas des niveaux de cours qui suivent une tendance. Distributions, divisions d'actions, devise du compte et heures de clôture doivent être cohérents. Associer une clôture intégrant une nouvelle à une autre antérieure à cette nouvelle peut sous-estimer la corrélation contemporaine. Une conversion monétaire peut également modifier le résultat.

Une fenêtre courte réagit vite mais produit une estimation plus instable. Une fenêtre longue peut mélanger des régimes devenus différents. Comparer plusieurs périodes défendables vaut mieux que sélectionner après coup la plus rassurante. L'annualisation par racine du temps suppose aussi des conditions sur les covariances temporelles ; la fréquence quotidienne ne règle pas tout.

La volatilité d'un 60/40 n'est pas une moyenne simple

Supposons une volatilité annuelle de 20% pour A et de 10% pour B, avec 60% et 40% du capital. Même devise et même fréquence, sans levier, non-linéarité d'options ni frais. La variance vaut wA²σA² + wB²σB² + 2wAwBσAσBρ. Sa racine carrée donne la volatilité.

En valeurs décimales, on obtient 0,0144 + 0,0016 + 0,0096ρ. En ne changeant que la corrélation, les résultats sont les suivants. Ce sont des calculs conditionnels, non des prévisions.

Le calcul 60%×20% + 40%×10% donne 16%, soit ici le cas parfaitement corrélé. Même à −1, le risque ne disparaît pas : la volatilité pondérée de A atteint 12%, contre 4% pour B. Les amplitudes ne se compensent pas. Une corrélation négative ne dispense donc pas de dimensionner les positions.

60% du capital peut porter 90% du risque

À corrélation nulle, la variance totale de 0,016 comprend 0,0144 pour A et 0,0016 pour B. Les parts de risque sont de 90% et 10%, très loin du graphique d'allocation 60/40. Celui-ci peut masquer l'actif qui domine réellement les fluctuations.

La contribution d'un actif à la volatilité est son poids multiplié par sa covariance avec le rendement du portefeuille, puis divisé par la volatilité totale. Les contributions s'additionnent à cette dernière ; rapportées au total, elles donnent les pourcentages. Ici, A apporte environ 11,38 points et B 1,26, soit 12,65%. Ce ne sont ni des probabilités de perte, ni des plafonds de perte, ni des poids conseillés.

À corrélation −0,50, la contribution relative de B peut devenir −7,14%, contre 107,14% pour A. B compense alors une partie de la volatilité dans ce modèle, mais peut lui-même perdre de la valeur. Le retirer et renormaliser les autres positions crée un autre portefeuille : son risque ne s'obtient pas en soustrayant simplement la contribution locale au total précédent.

Risque égal et variance minimale ne sont pas synonymes

Avec les mêmes volatilités et une corrélation nulle, un tiers en A et deux tiers en B égalisent les volatilités pondérées. Chacun fournit la moitié du risque, pour une volatilité totale proche de 9,43%. L'actif moins volatil réclame davantage de capital pour contribuer autant, dans cette configuration précise.

La combinaison de variance minimale est pourtant 20% A et 80% B, avec environ 8,94%. Les deux méthodes répondent à des objectifs différents. Sans rendements attendus, engagements, horizon et contraintes, aucune ne définit une allocation universellement optimale. La marge d'un contrat à terme n'est pas son exposition économique, et les options comportent des risques non linéaires absents de ce calcul.

Les mouvements de marché déplacent poids et contributions. Le calcul du rééquilibrage, des écarts d'allocation et des coûts permet de restaurer une cible, mais retrouver 60/40 ne restaure pas forcément l'ancien risque. Les volatilités et corrélations ont pu changer : il faut les actualiser avant de négocier pour corriger un ancien graphique.

Combiner les chocs de volatilité, de dépendance et de liquidité

Faire monter uniquement la corrélation tout en conservant les volatilités d'un marché calme peut sous-estimer le stress. Avec A à 30%, B à 15% et une corrélation de 0,80, le même 60/40 atteint environ 23,08% de volatilité, contre 12,65% au départ. Il s'agit d'une hypothèse conjointe, pas d'une loi décrivant toutes les crises.

L'écart-type n'est pas une perte maximale. Dans un scénario distinct d'une période, A recule de 30% et B de 10%. Avec des poids initiaux 60/40, sans flux ni transaction intermédiaire, la perte est de 22%. Ce montant n'est pas interchangeable avec une volatilité annualisée de 23,08%. Si une vente est nécessaire, tester aussi spreads, profondeur, appels de marge et change.

Examiner les émetteurs, secteurs, sensibilités aux taux et devises sous-jacents est souvent plus utile qu'ajouter un fonds. Plusieurs fonds sur le même indice ne rendent pas ses entreprises indépendantes. Un actif rarement échangé peut afficher peu de variations tout en étant difficile à vendre : sa faible volatilité observée ne garantit pas un coussin en crise.

Un contrôle de diversification à actualiser

1. Cartographier les expositions économiques et les actifs sous-jacents ; agréger émetteurs, secteurs, devises et facteurs communs, avec le levier à part.
2. Harmoniser rendements, distributions, devise, horaires et fréquence ; documenter données manquantes et échanges non synchrones.
3. Conserver poids, volatilités et matrice de covariance, puis rapprocher les contributions de la volatilité totale.
4. Comparer des fenêtres justifiables et leurs dates ; recalculer lorsque données ou positions changent.
5. Tester conjointement baisses, volatilité accrue, nouvelles dépendances et liquidité dégradée, sans confondre écart-type et pertes en espèces.
6. Définir objectifs, contraintes, frais et besoins de retrait avant toute modification ; préciser ce qui invalide l'ancienne analyse.

La diversification se juge à la diversité des réactions économiques au même choc. La corrélation en mesure une dimension, les contributions identifient les expositions dominantes et les scénarios vérifient si cette diversité reste utile au moment nécessaire.