Convexité obligataire : les limites de la duration

Une estimation par la duration n’est exploitable que si son erreur reste compatible avec la décision à prendre. Sur une obligation longue, l’écart peut modifier la taille de la position ou le respect d’une limite. La convexité corrige la courbure du prix, sans rendre exacte une approximation soumise à un choc important ni supprimer le risque de courbe.

Un choc de 200 points de base change le diagnostic

Prenons un zéro-coupon fictif qui versera 100 dans exactement 20 ans. À un rendement actuariel de 4%, composé annuellement, son prix est 100÷1,04²⁰＝45,6387. Il ne comporte ni coupon intermédiaire ni option. Les flux sont fixes et le temps ne s’écoule pas. Fiscalité, frais, financement et change sont exclus : on mesure une revalorisation immédiate, pas un rendement de détention.

En ramenant la valeur actuelle à 100, un rendement de 2% donne 147,46, soit un gain de 47,46%. La duration seule annonce 138,46. À 6%, la valeur exacte est 68,32, contre 61,54. La droite tangente reste sous la courbe prix-rendement : elle sous-estime la hausse et exagère la baisse.

La correction et ses limites numériques

Ici, la duration modifiée D vaut 20÷1,04＝19,2308 et la convexité C vaut 20×21÷1,04²＝388,3136. L’approximation au second ordre est ΔP/P ≈ −D×Δy＋½C×Δy². Un mouvement de 100 points de base s’écrit 0,01. Duration de Macaulay, duration modifiée et duration effective ne constituent pas des entrées interchangeables.

La valeur normalisée exacte est 100×[1,04÷(1,04＋Δy)]²⁰. Le tableau ne fait varier que le rendement. Pour obtenir la performance en pourcentage, retrancher 100 aux valeurs affichées.

Pour −200 points de base, la correction donne 146,23 : il manque encore 1,23 point. Pour +200, elle donne 69,30, soit environ 0,98 point de trop. La convexité améliore nettement le calcul, mais les termes d’ordre supérieur subsistent et les erreurs ne sont pas symétriques.

Partir de l’erreur tolérée

Supposons une tolérance de 0,10% de la valeur de marché actuelle. Le filtre ½C×Δy²＝0,001 donne un choc d’environ 22,69 points de base. Ce n’est pas une borne mathématique de l’erreur, mais un seuil d’alerte pour déclencher une revalorisation complète. Attendre systématiquement 100 points de base serait trop permissif pour cette obligation.

À ±25 points de base, la duration manque déjà la valeur d’environ 0,12 point, soit près de 1 200 pour une position valant 1 million dans sa devise de cotation. Tester les limites avec les chiffres non arrondis. Une autre convexité implique un autre seuil. Le guide FastBull sur le calcul de la DV01 traduit la sensibilité de premier ordre en montant ; l’erreur d’approximation doit, elle aussi, être comparée au budget dans la même devise.

Une meilleure convexité n’est pas une assurance

Comparons le zéro-coupon à 20 ans à un portefeuille « barbell », moitié en valeur de marché initiale sur un zéro-coupon à 10 ans, moitié sur un 30 ans, tous à 4%. La duration modifiée reste 19,2308, mais la convexité atteint 480,7692. Pour un déplacement instantané et parallèle de 100 points de base, le supplément au second ordre représente environ 0,46% de la valeur initiale : ½×(480,7692−388,3136)×0,01².

Changeons maintenant le scénario : le taux à 10 ans baisse à 3%, celui à 30 ans monte à 5% et le 20 ans reste à 4%. Le barbell vaut 50×(1,04/1,03)¹⁰＋50×(1,04/1,05)³⁰＝92,59 ; le titre à 20 ans reste à 100. La déformation défavorable de la courbe l’emporte. Le crédit, la liquidité, le financement et le prix payé interdisent également de traiter cette convexité supplémentaire comme un rendement gratuit.

Vérifier l’instrument réellement détenu

Relever la date de règlement, les échéances, la fréquence des coupons et le prix pied de coupon augmenté du coupon couru. Aligner la convention de rendement sur les flux ; ne pas utiliser sans adaptation des statistiques semestrielles dans ce calcul annuel. Revaloriser les chocs dans les deux sens et exprimer l’écart en montant et en proportion de la valeur initiale. Pour un portefeuille, tester séparément les différents nœuds de maturité.

Les obligations remboursables par anticipation et les titres adossés à des prêts immobiliers peuvent changer de flux lorsque les taux baissent. Le remboursement ou le refinancement limite alors la hausse du prix, parfois avec une convexité négative. Il faut un modèle intégrant ces options. Enfin, ne pas confondre ce risque instantané avec les coupons futurs, leur réinvestissement, les frais de financement ou le passage du temps. La méthode retenue doit satisfaire le budget d’erreur dans les scénarios pertinents.