Duration par point de courbe : pourquoi une couverture neutre en DV01 peut perdre

Un portefeuille couvert peut afficher un DV01 total nul et perdre plus de 100 000 dollars lorsque la courbe se déforme. Le calcul n’est pas nécessairement faux : la couverture peut neutraliser un déplacement parallèle alors que le marché produit une rotation.

La duration par point de courbe localise la sensibilité aux taux. Son total indique l’ampleur du risque ; sa répartition indique où il se trouve. Encore faut-il comparer la même courbe, à la même date, dans la même devise.

Une même duration, deux répartitions du risque

Prenons deux portefeuilles fictifs de 10 millions de dollars chacun. A détient un zéro-coupon à cinq ans. B investit 62,5 % de sa valeur initiale dans un zéro-coupon à deux ans et 37,5 % dans un zéro-coupon à dix ans. Les trois taux zéro, capitalisés annuellement, valent 4 %. Les flux sont fixes, sans option ni variation du crédit. Les pondérations portent sur les valeurs de marché, pas sur les montants nominaux.

La duration modifiée d’un zéro-coupon d’échéance t est t / 1,04. Celle de A vaut 4,807692 ; celle de B vaut 0,625 × 2 / 1,04 + 0,375 × 10 / 1,04, soit exactement autant. Le DV01 total atteint donc 4 807,69 dollars dans les deux cas. Un DV01 positif représente ici la perte approximative provoquée par une hausse d’un point de base.

Mais A porte toute sa sensibilité à cinq ans. B en porte 1 201,92 dollars à deux ans et 3 605,77 dollars à dix ans. Additionner ces montants ne supprime pas leurs différences d’échéance.

Calculer chaque sensibilité avec une convention commune

On déplace un nœud vers le haut puis vers le bas et on réévalue le portefeuille, en conservant le traitement convenu des autres nœuds. La duration locale est approximativement [prix après baisse − prix après hausse] / (2 × prix initial × h), avec h = 0,0001 pour un point de base. Le DV01 local est ensuite valeur initiale × duration locale × 0,0001.

La somme rejoint la sensibilité parallèle si les déformations élémentaires reconstituent le même déplacement parallèle. Des sensibilités calculées sur des taux zéro, des taux au pair ou des cotations de swaps ne s’additionnent pas sans précaution. Le choix des nœuds et l’interpolation comptent aussi. Une obligation à coupons répartit ses flux sur plusieurs dates ; classer tout son risque à son échéance finale est trompeur.

Trois chocs à réévaluer, pas à résumer par un seul taux

Le temps ne s’écoule pas dans ce test. Financement, fiscalité, change et frais sont exclus. Chaque zéro-coupon est revalorisé par valeur initiale × [1,04 / (1,04 + variation du taux)]ᵗ. Les deux composantes de B sont additionnées. Les pourcentages comparent les nouvelles valeurs aux 10 millions initiaux, sans annualisation.

Une hausse parallèle de 25 points de base engendre presque la même perte : le petit écart vient de la non-linéarité. En revanche, lorsque le deux ans baisse de 50 points de base et le dix ans monte de 50, le cinq ans restant fixe, A ne bouge pas et B perd environ 115 079 dollars. La sensibilité longue domine.

Dans le troisième scénario, le milieu monte tandis que les extrémités baissent : A perd 236 956 dollars et B gagne 121 504 dollars environ. Dire simplement que « les taux montent » ne suffit donc pas à décrire le risque.

Ce que laisse une couverture à cinq ans

Supposons que l’on détienne B tout en vendant à découvert 10 millions de A. Le vecteur net de DV01 devient [1 201,92 ; −4 807,69 ; 3 605,77]. Sa somme est nulle, mais la rotation précédente coûte toujours 115 079 dollars : le taux à cinq ans n’a pas bougé.

L’approximation −Σ(DV01 local × choc en points de base) prévoit une perte de 120 192 dollars, soit environ 5 113 dollars de plus que la réévaluation exacte. La mesure locale n’annule pas la courbure des prix, expliquée dans l’analyse de la convexité obligataire de FastBull.

La position longue B, courte A gagne environ 427 dollars sous le choc parallèle et 358 460 dollars dans le troisième scénario, avant coûts. Ce sont des résultats monétaires, pas des rendements à diviser par une valeur nette initiale nulle. Les positions brutes, le collatéral et l’emprunt de titres exigent toujours des ressources.

Construire une couverture sur le vecteur résiduel

Disposez les sensibilités monétaires de chaque instrument en colonnes et cherchez les quantités qui réduisent le vecteur cible. Un seul titre à cinq ans ne peut généralement pas neutraliser deux risques indépendants à deux et dix ans. Si la correspondance parfaite est impossible, rendez le résidu visible et testez les déformations qui lui sont défavorables.

Pour couvrir un passif, comparez les sensibilités monétaires des deux côtés : des durations identiques sur des valeurs différentes ne compensent pas le risque. Avec des contrats à terme, ajoutez le panier livrable, le titre le moins cher à livrer, le facteur de conversion et le risque de base. Le calcul sur obligations au comptant ne règle pas ces questions.

Quatre vérifications avant de parler de neutralité

1. Fixer date, devise, courbe, capitalisation, nœuds et interpolation pour tous les instruments.
2. Rapprocher la somme des DV01 locaux d’un calcul indépendant du DV01 parallèle et expliquer les écarts.
3. Réévaluer intégralement déplacements parallèles, pentifications, aplatissements et déformations du milieu ; tester séparément crédit, volatilité et base.
4. Déduire les coûts, fixer des pertes tolérables en monnaie et recalculer après tout changement de marché ou de position.

La duration par point de courbe ne prédit ni le prochain mouvement ni sa probabilité. Elle permet de vérifier précisément quel risque une couverture a supprimé — et quel risque elle a conservé.