Delta neutre : le risque gamma et le coût de la couverture

Le portefeuille était couvert en delta hier ; il perd de l'argent aujourd'hui. Ce constat ne suffit pas à conclure que la couverture était mauvaise. Un delta nul annule l'effet de premier ordre d'un petit mouvement du sous-jacent, à un instant et selon un modèle donnés. Il ne fige ni la valeur de l'option ni le résultat du portefeuille.

Pour juger la couverture, il faut identifier ce qui reste : la courbure du prix, le temps, la volatilité et le coût des ajustements. Voici un exemple entièrement hypothétique, dont les hypothèses permettent de refaire le calcul.

Transformer les sensibilités en quantités

Le delta mesure la sensibilité locale du prix de l'option au sous-jacent. Le gamma décrit la variation de ce delta. Une position en actions peut compenser le delta, mais elle n'a pas le gamma d'une option. Un call ou un put classique acheté a un gamma positif ; vendu, son gamma est négatif. Un portefeuille exige une somme pondérée par les quantités et le sens des positions.

Prenons un call européen : action et prix d'exercice à 100, échéance dans 30 jours calendaires, volatilité annualisée de 20 %, taux et dividendes nuls. Avec Black–Scholes et une année de 365 jours, la prime par action vaut environ 2,2872. Le delta est 0,511436, le gamma 0,069548, le thêta quotidien −0,038109 et le véga 0,114326 par point de pourcentage de volatilité.

Dix contrats de multiplicateur 100 représentent ici 1 000 unités. La couverture initiale vend à découvert 511,436 actions. Ce multiplicateur est une hypothèse, pas une norme universelle. Le calcul autorise les fractions d'action et écarte provisoirement financement, emprunt de titres et frais. Les contraintes de lot réelles laisseraient une exposition d'arrondi.

La couverture devient obsolète quand le cours bouge

Si l'action gagne immédiatement 2, sans changement de temps ni de volatilité, le delta du portefeuille augmente approximativement de 1 000 × 0,069548 × 2 = 139,10 actions. Pour retrouver la neutralité, il faudrait vendre environ 139 actions supplémentaires, après recalcul des sensibilités.

En cas de baisse, le gamma positif conduit à racheter une partie des actions vendues. Vendre après une hausse et acheter après une baisse paraît favorable, mais la convexité s'achète dans la prime. Cette position longue subit aussi l'érosion temporelle et paie la fourchette de prix à chaque ajustement.

Le gamma initial n'est pas une constante valable sur un grand mouvement. Près du prix d'exercice et de l'échéance, les sensibilités peuvent évoluer rapidement. Un saut de cours peut traverser plusieurs seuils prévus avant qu'un ordre soit exécuté.

Une journée de thêta peut absorber le gain de convexité

Conservons la couverture initiale sans modification pendant un jour calendaire. Il reste 29 jours, et la volatilité demeure à 20 %. L'approximation du résultat est : 1 000 × [½ × gamma × variation du cours au carré + thêta quotidien]. Le terme de premier ordre a disparu, pas les autres.

Les montants sont exprimés en unités monétaires fictives, avant frais. La dernière colonne additionne la variation de valeur du call recalculé et le résultat de la vente à découvert initiale. Elle est complète dans le modèle retenu, mais ne garantit aucun prix exécutable. Les variations du gamma et les termes d'ordre supérieur expliquent l'asymétrie entre hausse et baisse.

Une hausse de 1 ne suffit donc pas à compenser le temps écoulé. Le mouvement absolu d'équilibre local vaut environ 1,047, soit √(−2 × thêta quotidien ÷ gamma). Ce seuil dépend de cette seule journée, d'une couverture fixe et d'une volatilité inchangée. Il ne représente ni un signal universel ni la volatilité réalisée d'équilibre d'une stratégie réajustée.

Une baisse de volatilité peut inverser le résultat

Gardons la hausse de 2 sur une journée, mais abaissons la volatilité implicite de 20 % à 18 %. Il s'agit de deux points de pourcentage, non d'une baisse relative de 2 %. Le véga initial donne une perte supplémentaire de 1 000 × 0,114326 × 2 = 228,65. L'estimation combinée devient 100,99 − 228,65 = −127,66.

Une réévaluation complète donne environ −112,18. L'écart rappelle que prix, temps et volatilité interagissent : les sensibilités de départ ne restent pas fixes sur des variations finies. Une approximation n'est pas une prévision précise de la valeur de marché.

Les actions ne neutralisent pas le véga. Un portefeuille réel comporte aussi un sourire ou une asymétrie de volatilité, plusieurs échéances, des dividendes et parfois un exercice anticipé. La logique des flux de la parité call–put montre également pourquoi financement et clauses contractuelles comptent dans la comparaison des options.

Rééquilibrer davantage peut coûter davantage que cela ne rapporte

Des ajustements fréquents réduisent la durée d'exposition à un delta périmé, mais augmentent généralement le volume négocié. Dans un exemple distinct, 800 actions échangées au total, achats et ventes en valeur absolue, à un coût d'exécution supposé de 0,03 par action, coûtent 24. Un gain brut de 20 devient −4. Chaque opération compte une fois ; un coût déjà inclus dans la fourchette ne doit pas être déduit deux fois. Financement et emprunt de titres s'ajoutent séparément.

Comparer un ajustement horaire, une bande de delta et un déclenchement événementiel exige le même trajet de prix, les mêmes écarts acheteur-vendeur et le même glissement. Utiliser le cours de la bougie suivante ou une exécution permanente au milieu de la fourchette rendrait le test trompeur.

Le gamma négatif produit la pression inverse : acheter après la hausse, vendre après la baisse. Le gain de temps d'une option vendue peut être dépassé par un mouvement important. L'intérêt ouvert ne révèle pas à lui seul qui détient chaque sens de position ; il ne permet donc pas d'affirmer le signe du gamma global des teneurs de marché.

Documenter ce que la neutralité signifie réellement

Noter le sous-jacent, l'exercice, le règlement, l'échéance, le multiplicateur, le sens et les prix exécutables. Rapprocher ensuite le delta exprimé en unités de sous-jacent de la couverture en actions ou contrats à terme, avec les écarts de base et d'arrondi. Préciser la convention de jours du thêta et l'unité du véga.

Tester hausse, baisse et stabilité, puis ajouter simultanément temps et volatilité. Pour les chocs importants, réévaluer tout le portefeuille. Confronter enfin le résultat aux frais, au glissement, au financement et à l'emprunt, en fixant les conditions dans lesquelles modèle obsolète, saut de cours ou manque de liquidité invalident le plan.

La conclusion défendable reste limitée : l'exposition de premier ordre était proche de zéro à cet instant, avec ces données. Elle ne signifie jamais que le portefeuille ne peut pas perdre.