Un bêta faible ne signifie pas un risque faible : calculer bêta, corrélation et alpha

Un bêta de 0,4 suffit-il à qualifier une action de prudente ? Non. Avec une volatilité annuelle de 40% pour le titre, de 20% pour le marché et une corrélation de 0,2, son bêta vaut précisément 0,4. Une faible sensibilité à un indice donné peut coexister avec de fortes fluctuations propres.

Avant de classer des placements, il faut déterminer ce que chaque indicateur mesure. Le calcul suivant sépare la relation au marché, les variations inexpliquées et la surperformance apparente. Il permet surtout de savoir quelle information manque dans une fiche de risque.

Une sensibilité, pas un plafond de perte

Notons y le rendement du titre diminué du rendement sans risque de la même période, et x celui de l’indice calculé de la même manière. La régression à un facteur avec constante s’écrit y=α+βx+ε : β est la pente, α la constante et ε le résidu. On utilise des rendements excédentaires appariés, pas des niveaux de cours ni des taux d’intérêt de fréquence différente.

Le bêta estimé vaut Cov(x,y)/Var(x), soit ρ×σy/σx. Les deux statistiques doivent porter sur les mêmes observations avec une convention de dénominateur identique. La corrélation indique l’intensité du lien linéaire ; le bêta incorpore aussi le rapport des volatilités. Il peut donc dépasser 1, contrairement à la corrélation.

Dans l’exemple initial, 0,2×40%/20%=0,4. Pour une régression simple avec constante, R²=ρ² : seuls 4% de la variation de l’échantillon sont expliqués. Ce n’est pas une probabilité de perte de 4%. Le risque non expliqué reste présent. Un avertissement sur résultats ou un problème de financement peut faire dominer le résidu.

Retrouver un bêta de 1,2 sur quatre mois

Le tableau présente des rendements excédentaires mensuels fictifs, en pourcentage. Le taux sans risque a déjà été déduit. Devise, heure de valorisation et réinvestissement des distributions sont harmonisés. Quatre points servent à vérifier un calcul, pas à établir un historique de gestion.

La moyenne de x est 0 et celle de y,0,2%. En points de pourcentage, la somme des carrés centrés de x est 10 et celle des produits croisés centrés est 12. D’où β=12/10=1,2 et α=moyenne y −β×moyenne x=0,2%. Il s’agit de 0,2 point par mois, non de 20% ni d’un rendement annuel.

Les valeurs ajustées sont −2,2%, −1,0%, 1,4% et 2,6%. Les résidus sont 1%, −1%, −1% et 1%. Leur somme est nulle, tout comme la somme de leurs produits avec x : deux contrôles de cohérence des moindres carrés avec constante, sans valeur de preuve prédictive.

La somme des carrés centrés du titre est 18,4, décomposée en 14,4 expliqués et 4 résiduels. R²=14,4/18,4≈78,26% et la corrélation vaut environ 0,8847. Les écarts-types d’échantillon sont √(10/3)≈1,8257% et √(18,4/3)≈2,4766%. Avec seulement deux degrés de liberté résiduels, cet alpha positif ne démontre aucune compétence persistante.

Battre l’indice ne suffit pas à créer de l’alpha

Si le rendement excédentaire du marché est 5% et celui du titre 6%, l’avance brute est d’un point. Pourtant, un bêta applicable de 1,2 correspond déjà à 1,2×5%=6%. La différence brute n’isole donc pas la valeur de la sélection de titres.

L’alpha dépend du modèle et de la période. Un facteur sectoriel, de taille ou de style pertinent peut expliquer ce qui semblait être de l’alpha. Changer successivement d’indice, de dates et de frais jusqu’à obtenir une constante positive revient à sélectionner le résultat.

Si un coût exactement fixe retranche 0,1 point chaque mois à notre exemple, toutes les observations y baissent de la même quantité : bêta et résidus restent identiques, alpha descend à 0,1%. Des coûts liés à la rotation ou à la performance ne suivent pas nécessairement cette règle. Une performance brute avant impôt ne représente pas le résultat net reçu.

Ne confondons pas non plus estimation historique et hypothèse prospective. Avec un taux annuel sans risque supposé de 3%, un rendement de marché attendu de 8% et un bêta de 1,2, le modèle d’évaluation des actifs financiers donne 3%+1,2×(8%−3%)=9%. Le 8% est une hypothèse, pas un fait futur. Ajouter mécaniquement l’alpha mensuel des quatre observations mélangerait horizons et prévisions non étayées.

Pourquoi les estimations divergent

Comparer un titre technologique à un indice large, sectoriel ou étranger pose trois questions différentes. Des bêtas différents ne signalent donc pas forcément une erreur. Il faut aussi une devise commune : convertir une seule série introduit une exposition de change incohérente.

Vérifiez fréquence et période. Cours anciens, suspensions, faible liquidité et clôtures non simultanées affectent différemment les données quotidiennes, hebdomadaires ou mensuelles. Associer des clôtures étrangères uniquement par date peut sous-estimer la covariance contemporaine. Une observation manquante n’est pas un rendement nul.

Acquisition, changement d’activité, levier financier ou renouvellement du portefeuille peuvent rendre l’ancien échantillon peu représentatif. Les fenêtres glissantes révèlent l’instabilité, mais la plus récente n’est pas forcément la meilleure prévision. Fixez la règle avant de chercher un résultat favorable.

Enfin, stressez le résidu. En conservant mécaniquement α=0,2% et β=1,2, un rendement excédentaire du marché de −5% produit une valeur ajustée de −5,8%. Un choc résiduel supplémentaire de −6 points porte le résultat à −11,8%. Ce scénario n’est ni une perte maximale ni une probabilité ; il révèle ce qu’un calcul limité au bêta omet.

Choisir la mesure selon la question

Pour mesurer la sensibilité à un marché, demandez le bêta avec l’indice, la fréquence, les dates, le nombre d’observations et l’intervalle d’estimation. Pour évaluer les pertes possibles, examinez aussi volatilité totale, drawdowns, concentration et scénarios de tension.

Pour ajouter une position, recalculez corrélations, covariances et contributions au risque à partir des positions réelles. Le bêta envers un seul indice ne remplace pas un budget de risque global. Un bêta historiquement négatif ne garantit pas une couverture en crise.

Pour juger un gérant, séparez avance brute, facteurs et constante après frais, puis examinez l’incertitude et la stabilité hors échantillon. Un alpha positif ouvre l’enquête ; il ne la clôt pas. Une fiche exploitable permet de refaire le calcul et de comprendre quand son interprétation cesse d’être pertinente.