VaR — не максимальный убыток: как рассчитать Expected Shortfall и оценить хвостовой риск

Однодневный VaR на уровне 95% в размере 2 000 долларов не обещает, что завтра портфель потеряет не больше этой суммы. Это квантиль выбранного распределения убытков, а не потолок потерь. Expected Shortfall, или ES, показывает средний убыток в заданном хвосте. Он дополняет картину, но тоже не является гарантированным максимумом.

Сначала договориться о том, что именно измеряется

Для сравнения нужны одинаковые горизонт, доверительный уровень, валюта, позиции и знак результата. Здесь убытки положительны, прибыль отрицательна. Берем неизменный портфель стоимостью 100 000 долларов и 100 равновероятных однодневных сценариев. VaR 95% определяем как минимальный убыток, при котором накопленная вероятность достигает хотя бы 95%. В упорядоченной по возрастанию выборке это 95-е наблюдение; интерполяцию не используем.

ES того же уровня усредняет худшие 5% вероятностной массы. VaR задает границу, ES описывает среднюю тяжесть выбранного хвоста. Число 95% не является вероятностью того, что модель верна. Также нельзя напрямую сравнивать однодневный VaR 95% с десятидневным ES 99% и на этом основании объявлять один портфель безопаснее.

Один VaR скрывает разные масштабы плохих исходов

Составим две условные выборки A и B. Первые 90 значений равны нулю, позиции с 91-й по 95-ю — 1 000, 1 200, 1 400, 1 600 и 2 000 долларов. Отличаются только последние пять. Это учебные сценарии для повторения расчета, а не исторический результат стратегии.

VaR 95% в обоих случаях составляет 2 000 долларов. ES для A равен (2100 + 2200 + 2300 + 2400 + 2500) / 5 = 2 300 долларов. Для B: (2100 + 2400 + 3000 + 5500 + 12000) / 5 = 5 000 долларов. Порог в обоих случаях равен 2% начальной стоимости, а средний хвостовой убыток — соответственно 2,3% и 5%.

Максимальный наблюдаемый убыток B остается 12 000 долларов. ES — не этот максимум и не среднее по всем сценариям. Даже максимум выборки не ограничивает возможный будущий шок, отсутствующий в данных. Поэтому одного VaR недостаточно, чтобы понять способность портфеля выдерживать тяжелые исходы.

На уровне 97,5% важен дробный вес

Худшие 2,5% из 100 равновероятных сценариев — это два самых плохих наблюдения целиком и половина веса третьего. При принятом определении квантиля VaR 97,5% для B равен 98-му значению, то есть 3 000 долларов. ES рассчитывается иначе:

(12000 + 5500 + 0,5 × 3000) / 2,5 = 7 600 долларов.

Если усреднить только убытки строго выше 3 000 долларов, получится 8 750, но такая выборка покрывает 2%, а не 2,5% вероятности. Три полных наблюдения покрывают 3%. Половина веса относится к вероятности, а не к половине реального торгового дня. При совпадающих значениях на границе тоже нужно включать лишь требуемую массу. Разные правила интерполяции в программах могут дать разные ответы: сначала проверяют соглашения, а уже затем ищут ошибку в данных.

Соблюдение одного лимита не отменяет нарушение другого

Предположим, внутренние однодневные лимиты на уровне 95% составляют 2 500 долларов для VaR и 4 000 для ES. Портфель B проходит первую проверку и не проходит вторую. Противоречия нет: лимиты относятся к разным свойствам распределения. Выбор более благоприятного показателя не уменьшает хвостовой убыток.

При строго линейных позициях, неизменных сценариях и отсутствии дополнительных затрат сокращение всей экспозиции до 80% уменьшает каждый модельный убыток до 80%. Тогда VaR B составит 1 600 долларов, ES — 4 000, худший сценарий — 9 600. Это чувствительность модели, а не доказательство безопасности или исполнимости такой позиции. Опционы, влияние сделок на рынок, финансирование и изменение хеджей требуют переоценки. Подгонка оценки точно под лимит также не оставляет запаса на статистическую ошибку.

ES не исправляет неверные исходные предпосылки

Историческое моделирование обычно применяет прошлые изменения факторов риска к сегодняшним фиксированным позициям. Фактический ежедневный результат счета может включать ввод и вывод средств, изменение плеча и новые сделки. Его сортировка отвечает на другой вопрос. До расчетов следует проверить корпоративные действия, устаревшие котировки, пропуски, валютный пересчет и включение комиссий.

Сто сценариев оставляют всего пять наблюдений в хвосте 95%. Спокойное окно может не содержать кризиса; чрезмерно длинное — размывать новый режим волатильности. Нужны проверки разных окон и весов, а также отдельные стрессы ценовых разрывов, ликвидности и корреляций за пределами выборки. Стоп-приказ не гарантирует цену исполнения после ночного гэпа.

Умножение однодневной оценки на квадратный корень из десяти не всегда дает корректный десятидневный риск. Точное масштабирование квантилей требует подходящей модели: например, независимых одинаково распределенных нормальных приращений, фиксированной линейной экспозиции, стабильной волатильности и отдельного учета среднего. Временная зависимость, скачки и нелинейные выплаты могут нарушить это правило.

Оставить воспроизводимый протокол проверки

Сохранить снимок позиций, метод оценки, даты сценариев, веса и единицу убытка. Отсортировать потери, записать номер квантиля и усреднить ровно нужную верхнюю долю вероятности, применяя дробные веса. Сверить независимым расчетом и лишь затем сравнить с лимитами на той же основе. Денежная сумма, доля капитала и размер маржи — разные величины.

Далее проверять прогнозы, сделанные до возникновения убытков, на действительно новых данных. Корректно калиброванная непрерывная модель 95% подразумевает в среднем пять превышений на 100 независимых наблюдений, а не обязательные пять. Важны также концентрация превышений и тяжесть потерь. Размер выборки и доверие к доле прибыльных сделок помогают отличать оценку от убедительных свидетельств.

В итоговой записи отдельно указать соблюдение лимита, выводы стресс-тестов и предпосылки, нарушение которых обесценит оценку. VaR и ES описывают риск; они не заставляют рынок остановить убытки на заданной отметке.