USD/JPY падает на 10%: почему иена дорожает на 11,11%, а не на 10%?

Если USD/JPY снижается со 150 до 135, доллар дешевеет к иене на 10%. За тот же самый период иена дорожает к доллару на 11,11%. Обе величины верны: при переходе к обратной котировке меняется знаменатель, относительно которого измеряется прирост.

Разница не означает дополнительной прибыли и не создает возможности арбитража. Она важна при сравнении валют и пересчете стоимости валютного остатка. Все цены и суммы ниже условные; проценты и комиссии не учитываются, если прямо не сказано иное.

Сначала определите единицы котировки

USD/JPY на уровне 150 означает 150 иен за доллар. Обратная котировка JPY/USD равна 1/150 доллара за иену. Когда первый курс опускается до 135, стоимость иены становится равной 1/135 доллара. На доллар теперь можно купить меньше иен, а на иену — больше долларов.

Изменение прямой котировки: 135/150 − 1 = −10%. Изменение обратной: (1/135)/(1/150) − 1 = 150/135 − 1 = +11,11%. Разделив разницу в 15 иен на 150, мы отвечаем только на первый вопрос. Простая замена минуса на плюс не учитывает ни новые единицы измерения, ни новый знаменатель.

Обращайте коэффициент изменения, а не знак процента

Пусть Q — количество единиц котируемой валюты за единицу базовой, а начальный и конечный курсы Q0 и Q1 положительны. Простая доходность прямой котировки r = Q1/Q0 − 1, обратной — s = Q0/Q1 − 1. Отсюда s = −r/(1+r) и (1+r)(1+s) = 1. В формулу нужно подставлять десятичную долю: −10% — это −0,10, а не −10.

Падению исходной котировки на 20% соответствует рост обратной на 25%. Чем сильнее движение, тем заметнее ошибка приближения s ≈ −r. При небольших колебаниях она может быть почти незаметна, но для точной сверки денежных сумм это приближение не подходит.

Не путайте обращение валютной пары с последовательными изменениями во времени. Если курс 150 сначала падает на 10%, а затем растет на 10%, получится 150 × 0,90 × 1,10 = 148,5. Для восстановления со 135 до 150 нужен рост на 11,11%. В обоих случаях важен знаменатель, но сравниваются разные вещи.

Проверьте результат через движение денег

Предположим, владелец 10 000 долларов меняет их на 1 500 000 иен по курсу 150, держит иены без начисления процентов, а затем покупает доллары по курсу 135. До учета издержек получится 11 111,11 доллара. Доходность относительно исходных 10 000 долларов составит 11,11%: это удорожание иены в долларах, а не падение USD/JPY на 10%.

Здесь рассматривается полностью оплаченный обмен валюты, а не короткая позиция с кредитным плечом. По торговому контракту прибыль может сначала определяться в одной валюте, а затем переводиться в валюту счета по отдельным правилам. Базой для доходности могут служить собственные средства счета или внесенная маржа. Умножение маржи на 11,11% само по себе не дает прибыль по контракту.

Рядом с показателем доходности должны быть определены три вещи: что именно удерживалось, в какой валюте оценен результат и какая начальная сумма стоит в знаменателе. Из процентного изменения котировки нельзя восстановить условия финансирования, плечо и порядок расчетов по счету.

В реальном обмене используйте правильную сторону цены

Теперь зададим начальную котировку USD/JPY как 150,00/150,04, а конечную как 135,00/135,04: сначала bid, затем ask. При первой операции вы продаете доллары по bid 150,00. При второй покупаете доллары за иены по ask 135,04. Конечный остаток равен 1 500 000/135,04 = 11 107,82 доллара, а доходность до отдельных сборов — примерно 11,0782%.

Разница примерно в 3,29 доллара относительно примера без спреда уже заложена в выбранных ценах исполнения. Повторно вычитать тот же спред нельзя. Отдельно начисляемые комиссии, сборы за конвертацию и проценты по валютному остатку нужно учитывать самостоятельными денежными потоками.

При обращении двухсторонней котировки стороны меняются местами: обратный bid = 1/исходный ask, обратный ask = 1/исходный bid. Логику выбора исполнимой стороны раскрывает расчет кросс курсов и сторон bid и ask обратной котировки. Справочный курс центрального банка или средняя цена на графике подходит для анализа изменения стоимости, но не гарантирует обмен по этому уровню.

Логарифмическая доходность симметрична, денежная — нет

При единой методике измерения логарифмическая доходность равна ln(Q1/Q0), а для обратного курса — ln(Q0/Q1). Эти значения точно противоположны по знаку. Свойство удобно для приведения исследовательских рядов к одной ориентации и сложения логарифмических доходностей за несколько периодов.

Это не превращает обычную денежную доходность в симметричную величину. Логарифмическое изменение g переводится в простую доходность по формуле exp(g) − 1. Нельзя обозначать g как процент прибыли на капитал счета. Кроме того, одна лишь смена направления пары не делает сопоставимыми наблюдения с разными моментами фиксации или разной валютой сравнения.

Порядок сверки двух показателей

Укажите единицу каждого курса, например «иен за доллар». Согласуйте начальную и конечную отметки времени, источник данных и тип цены. Ряд bid нельзя незаметно подменять рядом средних цен, а котировку одного инструмента — ценой другого.

Сначала рассчитайте Q1/Q0 и обратный коэффициент, затем вычтите из каждого единицу. Для точной пары взаимно обратных курсов произведение коэффициентов должно равняться одному. Если это не так, проверьте округление, порядок дат, стороны цены и инструмент. Сохраняйте точность промежуточных расчетов, округляя только представляемый результат.

Если требуется узнать, сколько заработал счет, восстановите фактические конвертации и денежные потоки: цены исполнения, комиссии, проценты и правила расчетов. Разделите чистый результат на явно выбранный стартовый капитал. Условия исполнения и кредитное плечо меняют доходность счета, но не математическое тождество между положительным курсом и его обратной величиной.