Дюрация по узлам кривой: почему хедж с нулевым DV01 может принести убыток

Суммарный DV01 после хеджирования равен нулю, но изменение формы кривой приносит убыток свыше 100 тысяч долларов. Это не обязательно ошибка расчета. Возможно, хедж устранил риск параллельного сдвига, но сохранил риск относительного движения разных сроков.

Дюрация по ключевым узлам раскладывает процентную чувствительность по срокам. Сумма показывает размер риска, распределение — его местоположение. Сравнивать позиции нужно на одной кривой, в одной валюте и на одну дату оценки.

Одинаковая дюрация, разные уязвимые участки

Возьмем два условных портфеля стоимостью по 10 млн долларов. А целиком состоит из пятилетней бескупонной облигации. Б размещает 62,5% первоначальной рыночной стоимости в двухлетней и 37,5% в десятилетней бескупонной облигации. Все три спот-ставки равны 4% с годовой капитализацией. Денежные потоки фиксированы; встроенных опционов и изменений кредитного риска нет. Доли рассчитаны по рыночной стоимости, а не по номиналу.

Модифицированная дюрация бескупонной облигации со сроком t равна t / 1,04. У А она составляет 4,807692, у Б — 0,625 × 2 / 1,04 + 0,375 × 10 / 1,04, столько же. DV01 обоих портфелей — 4 807,69 доллара. Положительный DV01 здесь означает приблизительную потерю стоимости при росте соответствующей ставки на один базисный пункт.

У А вся чувствительность сосредоточена на пяти годах. У Б двухлетний узел дает 1 201,92 доллара, десятилетний — 3 605,77. Совпадение сумм не меняет сроков платежей.

Как рассчитать чувствительность отдельного узла

Сместите один узел вверх и вниз, сохраняя согласованный способ обработки остальных, и переоцените позицию. Локальная дюрация приблизительно равна [цена при снижении ставки − цена при повышении] / (2 × начальная цена × h), где h = 0,0001 для одного базисного пункта. Узловой DV01 равен начальной стоимости × локальной дюрации × 0,0001.

Сумма соответствует параллельной чувствительности, если совокупность отдельных шоков воспроизводит тот же параллельный сдвиг. Нельзя без преобразования складывать риски по бескупонным ставкам, доходностям к номиналу и котировкам свопов. Важны также узлы и интерполяция. Купонная облигация платит до погашения, поэтому весь ее риск нельзя приписывать конечному сроку.

Три сценария требуют трех переоценок

Шоки мгновенные: время не проходит. Финансирование, налоги, издержки и изменение валюты исключены. Новая стоимость каждого инструмента равна начальной стоимости × [1,04 / (1,04 + изменение ставки)]ᵗ. Для Б складываются две части. Проценты в таблице относятся к первоначальным 10 млн каждого портфеля, а не к годовой доходности.

Параллельный рост на 25 базисных пунктов дает почти одинаковые потери; малая разница обусловлена нелинейностью цены. Если двухлетняя ставка падает на 50 пунктов, пятилетняя стоит на месте, а десятилетняя растет на 50, А не меняется, а Б теряет около 115 079 долларов. Убыток длинного участка превышает прибыль короткого.

В третьем сценарии середина кривой поднимается, а края опускаются. А теряет около 236 956 долларов, Б зарабатывает 121 504. Фраза «доходности выросли» не описывает такое распределение риска.

Нулевая сумма не отменяет позицию на форму кривой

Предположим, что инвестор держит Б и может продать без покрытия А на 10 млн долларов. Чистый вектор DV01 становится [1 201,92; −4 807,69; 3 605,77], сумма — ноль. Но сценарий увеличения крутизны по-прежнему приносит убыток 115 079 долларов: пятилетняя ставка не изменилась, и короткая позиция ничего не компенсировала.

Линейный расчет −Σ(узловой DV01 × шок в базисных пунктах) дает потерю 120 192 доллара, примерно на 5 113 больше точной переоценки. Даже корректный вектор — лишь локальное приближение. Отдельную проблему нелинейности раскрывает разбор выпуклости облигаций на FastBull.

Длинная Б и короткая А приносят около 427 долларов при параллельном росте и 358 460 в третьем сценарии, до издержек. Это денежный результат. Делить его на нулевую начальную чистую стоимость для расчета доходности бессмысленно. Валовой объем, обеспечение, заем бумаг и финансирование требуют ресурсов.

Улучшать нужно остаточный вектор

Расположите денежные чувствительности доступных инструментов по столбцам матрицы и найдите объемы, сокращающие целевой вектор. Один пятилетний инструмент обычно не может устранить независимые риски двух и десяти лет. Если точное совпадение недоступно, покажите остаток и сценарии, в которых он создает убыток.

При покрытии обязательств сравнивают денежную чувствительность активов и обязательств. Одинаковая дюрация при разной стоимости не означает одинакового долларового риска. Фьючерсы добавляют поставочную корзину, наиболее дешевую к поставке облигацию, коэффициент конверсии и базис. Пример с наличными облигациями не заменяет эти проверки.

Четыре проверки до заявления о нейтральности

1. Унифицировать дату, валюту, кривую, капитализацию, узлы и интерполяцию.
2. Сверить сумму узловых DV01 с независимым расчетом параллельного DV01 и объяснить существенные расхождения.
3. Полностью переоценить параллельные сдвиги, рост и снижение крутизны, изменение середины; отдельно проверить кредит, волатильность и базис.
4. Учесть финансирование и исполнение, задать допустимый убыток в деньгах и пересчитывать риск после изменений рынка или позиции.

Узловая дюрация не предсказывает следующее движение и его вероятность. Она показывает, действительно ли хедж устранил нужный риск или только спрятал его за нулевой суммой.