Выпуклость облигаций: когда дюрации недостаточно

Оценка по дюрации полезна, пока её погрешность не меняет решение о размере позиции или соблюдении лимита. Для длинной облигации это ограничение существенно даже при умеренном движении доходности. Выпуклость учитывает изгиб ценовой кривой, но не делает приближение точным при любом шоке и не устраняет риск изменения формы кривой доходности.

Что меняется при сдвиге на 200 базисных пунктов

Возьмём условную бескупонную облигацию, выплачивающую 100 ровно через 20 лет. При доходности 4% с ежегодным начислением сложного процента цена равна 100÷1,04²⁰＝45,6387. Промежуточных выплат и встроенных опционов нет, потоки фиксированы. Время не проходит; налоги, сделки, финансирование и валюта исключены. Это мгновенная переоценка, а не результат владения за год.

Нормируем текущую рыночную стоимость к 100. При снижении доходности до 2% точная стоимость составит 147,46: рост на 47,46%. Дюрация даёт лишь 138,46. При повышении до 6% получаем соответственно 68,32 и 61,54. Кривая цены лежит выше касательной, поэтому линейная оценка занижает выигрыш и завышает потерю.

Как рассчитать поправку без ошибки в единицах

Модифицированная дюрация D＝20÷1,04＝19,2308. Выпуклость C＝20×21÷1,04²＝388,3136. Приближение второго порядка: ΔP/P ≈ −D×Δy＋½C×Δy². Изменение на 100 базисных пунктов вводится как 0,01. Дюрацию Маколея, модифицированную и эффективную дюрацию нельзя механически подставлять вместо друг друга.

Точная нормированная цена: 100×[1,04÷(1,04＋Δy)]²⁰. В таблице изменяется только доходность. Числа обозначают стоимость; для процентного результата нужно вычесть 100.

При −200 базисных пунктах поправка даёт 146,23: до точной оценки не хватает 1,23 пункта стоимости. При +200 получается 69,30, примерно на 0,98 пункта выше точного значения. Старшие члены разложения сохраняются, а ошибки для двух направлений неодинаковы.

Порог зависит от допустимой погрешности

Пусть допустимое отклонение равно 0,10% текущей рыночной стоимости. Предварительный тест ½C×Δy²＝0,001 даёт примерно 22,69 базисного пункта. Это не строгая верхняя граница ошибки, а сигнал перейти к полной переоценке. Универсальное правило ждать изменения на 100 базисных пунктов здесь не подходит.

Уже при ±25 базисных пунктах линейная ошибка близка к 0,12 пункта стоимости. Для позиции в 1 миллион это около 1 200 единиц валюты оценки. Лимиты проверяют по неокруглённым числам; для другой выпуклости рассчитывают новый порог. В руководстве FastBull по расчёту DV01 чувствительность первого порядка переводится в деньги. Чувствительность и ошибка модели — разные показатели, хотя сравнивать их с лимитом следует в одной валюте.

Почему более выпуклый портфель тоже проигрывает

Составим «штангу»: по половине начальной рыночной стоимости в 10-летнем и 30-летнем бескупонных выпусках, оба с доходностью 4%. Модифицированная дюрация равна тем же 19,2308, что у 20-летней облигации, но выпуклость составляет 480,7692. При мгновенном параллельном сдвиге на 100 базисных пунктов добавочный эффект второго порядка равен ½×(480,7692−388,3136)×0,01², около 0,46% начальной стоимости.

Теперь 10-летняя доходность снижается до 3%, 30-летняя растёт до 5%, а 20-летняя остаётся 4%. Стоимость «штанги» становится 50×(1,04/1,03)¹⁰＋50×(1,04/1,05)³⁰＝92,59, тогда как 20-летняя бумага по-прежнему стоит 100. Неблагоприятная деформация кривой перевесила преимущество выпуклости. Кредитное качество, ликвидность, финансирование и цена покупки также не позволяют считать его бесплатной доходностью.

Проверять нужно реальные денежные потоки

Уточните дату расчётов, график выплат, частоту купона и полную цену с накопленным купонным доходом. Согласуйте правила начисления с потоками: полугодовые показатели нельзя без пересчёта использовать в годовой формуле. Рассчитайте оба направления шока, выразите отклонение в деньгах и доле первоначальной стоимости. Для портфеля дополнительно меняйте отдельные узлы кривой.

Отзывные облигации и ипотечные бумаги могут менять потоки при снижении ставок: досрочное погашение или рефинансирование ограничивает рост цены. В некоторых диапазонах возможна отрицательная выпуклость, и нужна модель со встроенными опционами. Наконец, отделяйте мгновенный ценовой риск от последующих купонов, реинвестирования, финансирования и течения времени. Критерий пригодности метода — соблюдение бюджета ошибки в значимых сценариях.