Convexidade dos títulos: quando a duration não basta

Uma estimativa por duration só serve à decisão se seu erro couber no limite definido para a posição. Em títulos longos, a diferença pode mudar o tamanho da operação ou o consumo de risco. A convexidade corrige a curvatura do preço, mas não torna exato um choque grande nem protege, por si só, contra mudanças no formato da curva de juros.

O que acontece em um choque de 200 pontos-base

Considere um título hipotético zero cupom que paga 100 daqui a exatamente 20 anos. Com taxa de retorno até o vencimento de 4%, em capitalização anual, o preço é 100÷1,04²⁰＝45,6387. Não há cupons intermediários nem opções embutidas. Os fluxos são fixos, o tempo não passa e ficam de fora tributos, negociação, financiamento e câmbio. Trata-se de reprecificação instantânea, não do retorno de um ano de carregamento.

Normalize o valor atual para 100. Se a taxa cai a 2%, o valor exato vai a 147,46, alta de 47,46%; a duration indica apenas 138,46. Se sobe a 6%, o preço exato é 68,32, contra 61,54 na aproximação. A tangente fica abaixo da curva de preço: subestima a valorização e exagera a perda.

O ajuste depende de entradas consistentes

A duration modificada D é 20÷1,04＝19,2308. A convexidade C é 20×21÷1,04²＝388,3136. Assim, ΔP/P ≈ −D×Δy＋½C×Δy². Uma alteração de 100 pontos-base entra como 0,01. Duration de Macaulay, modificada e efetiva não são números intercambiáveis.

O valor normalizado exato é 100×[1,04÷(1,04＋Δy)]²⁰. Na tabela, somente a taxa varia. São valores, não rentabilidades: subtraia 100 para obter a mudança percentual.

Na queda de 200 pontos-base, a correção leva a 146,23, ainda 1,23 ponto abaixo do exato. Na alta de 200, produz 69,30, cerca de 0,98 ponto acima. A aproximação de segunda ordem melhora muito o resultado, mas deixa termos de ordens superiores de fora. O erro tampouco é igual nos dois sentidos.

Defina a tolerância antes do choque

Se o erro aceitável for 0,10% do valor de mercado atual, o filtro ½C×Δy²＝0,001 sugere aproximadamente 22,69 pontos-base. Isso não é um limite matemático garantido para o erro. É um alerta de que o título já pede reprecificação completa nessa ordem de grandeza, sem esperar uma regra genérica de 100 pontos-base.

Nos cenários de ±25 pontos-base, a duration já erra perto de 0,12 ponto de valor. Para uma posição de 1 milhão na moeda de precificação, são cerca de 1.200. Use resultados sem arredondamento para testar limites e calcule um novo patamar para cada convexidade. O guia FastBull de cálculo do DV01 converte a sensibilidade de primeira ordem em dinheiro; essa sensibilidade e o erro da aproximação são grandezas diferentes, mas devem ser confrontadas na mesma moeda.

Mesmo prazo de sensibilidade, resultado diferente

Compare o zero de 20 anos com uma carteira que aplica metade do valor inicial em um zero de 10 anos e metade em um de 30, todos inicialmente a 4%. A duration modificada continua 19,2308, mas a convexidade sobe a 480,7692. Num deslocamento paralelo e instantâneo de 100 pontos-base, a contribuição adicional de segunda ordem é ½×(480,7692−388,3136)×0,01², ou aproximadamente 0,46% do valor inicial.

Não é ganho gratuito. Se a taxa de 10 anos recua a 3%, a de 30 sobe a 5% e a de 20 permanece em 4%, a carteira vale 50×(1,04/1,03)¹⁰＋50×(1,04/1,05)³⁰＝92,59. O título de 20 anos permanece em 100. Uma torção desfavorável da curva supera o benefício da maior convexidade. Crédito, liquidez, financiamento e preço pago também precisam entrar na comparação.

Reprecifique o ativo que está na carteira

Confira liquidação, datas de pagamento, frequência dos cupons e preço com juros acumulados. A convenção de capitalização deve corresponder aos fluxos: indicadores semestrais não podem ser inseridos sem adaptação neste caso anual. Calcule os choques positivos e negativos e registre o erro tanto em dinheiro quanto em proporção do valor inicial. Nas carteiras, teste os diferentes vértices separadamente.

Títulos resgatáveis antecipadamente e papéis lastreados em hipotecas podem ter fluxos alterados quando os juros caem. Resgates e refinanciamentos limitam a valorização e podem produzir convexidade negativa em certas faixas; nesse caso, é necessário um modelo que incorpore as opções. Por fim, não misture variação instantânea do preço com cupons futuros, reinvestimento, financiamento e passagem do tempo. A pergunta prática é se a técnica atende à tolerância de erro nos cenários que importam.