채권 볼록성: 듀레이션만으로 부족한 때

듀레이션으로 계산한 채권 손익은 어디까지 믿어도 될까. 금리 변화의 크기만 볼 것이 아니라, 추정 오차가 투자 규모나 위험 한도를 바꾸는지부터 따져야 한다. 볼록성은 가격곡선의 휘어짐을 보정하지만, 큰 충격의 가격을 정확하게 보장하거나 수익률곡선 위험을 없애지는 않는다.

금리 200bp 변화가 드러내는 차이

정확히 20년 뒤 100을 지급하는 가상의 무이표채를 보자. 연 복리 수익률이 4%이면 가격은 100÷1.04²⁰＝45.6387이다. 중간 이자와 내재 옵션은 없으며 현금흐름도 바뀌지 않는다. 시간이 흐르지 않는 즉시 재평가로, 세금·매매비용·조달비용·환율을 제외한다. 따라서 보유기간 총수익률을 예측하는 예제가 아니다.

현재 시장가치를 100으로 맞추면 수익률이 2%로 하락할 때 정확한 가치는 147.46, 상승률은 47.46%다. 듀레이션만 쓰면 138.46에 그친다. 반대로 6%로 상승하면 정확한 가치는 68.32이지만 선형 추정은 61.54다. 고정 현금흐름의 가격곡선이 접선 위로 휘어 있어, 상승을 과소평가하고 하락을 과대평가한다.

공식보다 먼저 확인할 입력값

수정듀레이션 D＝20÷1.04＝19.2308, 볼록성 C＝20×21÷1.04²＝388.3136이다. 가격변화율의 2차 근사는 −D×Δy＋½C×Δy²다. 수익률 100bp 변화는 0.01로 입력해야 한다. 맥컬리 듀레이션이나 유효듀레이션을 수정듀레이션과 같은 수치로 취급하면 안 된다.

정확한 표준화 가치는 100×[1.04÷(1.04＋Δy)]²⁰로 계산한다. 아래 표는 수익률만 바꾼 결과이며, 표시된 가치에서 100을 빼면 백분율 손익이 된다.

−200bp에서 볼록성 보정값은 146.23으로 개선되지만 정확한 값보다 1.23포인트 낮다. ＋200bp에서는 69.30으로 약 0.98포인트 높다. 2차 근사는 고차항까지 반영하지 못한다. 같은 폭의 상승과 하락에서 오차도 대칭이 아니다.

허용 오차가 재평가 기준을 정한다

현재 시장가치의 0.10%를 오차 한도로 정했다고 하자. 곡률항 ½C×Δy²＝0.001을 풀면 약 22.69bp다. 정확한 오차 상한은 아니지만, 이 정도 변동부터 정밀 재평가가 필요한지 점검하라는 신호다. 모든 채권에 일률적으로 100bp 기준을 적용하는 것보다 판단 목적에 맞는다.

이 예에서는 ±25bp만으로도 듀레이션 오차가 약 0.12가치포인트다. 현재 평가액 100만이면 해당 통화로 약 1,200이다. 한도 준수 여부는 반올림 전 값으로 판단한다. 볼록성이 다른 채권의 기준은 별도로 계산해야 한다. 1차 민감도를 금액으로 환산하려면 FastBull의 DV01 계산법을 참고하되, 민감도와 추정 오차를 구분하고 같은 통화로 비교한다.

볼록성이 큰 바벨도 손실을 낼 수 있다

초기 시장가치를 기준으로 10년과 30년 무이표채에 절반씩 배분하자. 모두 최초 수익률이 4%라면 수정듀레이션은 20년채와 같은 19.2308이지만, 볼록성은 480.7692다. 즉시 평행 이동하는 100bp 충격에서 추가 2차 효과는 ½×(480.7692−388.3136)×0.01², 초기 가치의 약 0.46%다.

이 우위를 공짜 수익으로 해석해서는 안 된다. 10년 수익률은 3%로 내리고 30년은 5%로 오르되 20년은 4%라면, 바벨 가치는 50×(1.04/1.03)¹⁰＋50×(1.04/1.05)³⁰＝92.59다. 20년채는 여전히 100이다. 불리한 곡선 변화는 높은 볼록성의 장점을 뒤집는다. 실제 비교에는 신용, 유동성, 자금조달과 매입가격도 들어간다.

실제 보유채권에 적용하는 순서

결제일, 지급일, 이자 지급 빈도와 경과이자를 포함한 가격을 확인한다. 수익률의 복리 기준을 현금흐름에 맞추고, 반기 복리 지표를 이 연 복리 예제에 그대로 넣지 않는다. 상승·하락 양쪽 가격을 다시 계산한 뒤 오차를 금액과 초기 시장가치 비율로 기록한다. 포트폴리오는 만기 구간별 충격도 시험한다.

콜옵션부 채권이나 주택저당증권은 금리 하락 시 조기상환·차환 때문에 현금흐름이 달라질 수 있다. 가격 상승이 제한되고 일부 구간에서는 음의 볼록성이 나타나므로 옵션을 반영한 평가모형이 필요하다. 즉시 가격 위험을 이후의 이자수입, 재투자, 조달비용, 시간 경과와 섞지 않는 것이 마지막 확인 단계다.