VaR는 최대 손실이 아니다: 기대손실 ES로 확인하는 꼬리위험과 위험한도

위험보고서에 ‘하루 95% VaR 2,000달러’라고 적혀 있다고 해서 내일 최대 2,000달러만 잃는다는 뜻은 아니다. VaR는 모형 손실분포의 경계값이다. 그 경계 밖에서 손실이 얼마나 커지는지는 따로 살펴야 한다. 기대손실 ES는 지정한 꼬리 구간의 평균 손실을 보여 주지만, ES 역시 손실 상한은 아니다.

숫자보다 먼저 기간과 손실의 정의를 맞춘다

VaR에는 보유기간, 신뢰수준, 표시통화, 대상 포지션, 손익 부호가 함께 따라야 한다. 여기서는 손실을 양수, 이익을 음수로 표시하고, 10만 달러의 고정 포트폴리오에 대한 동일 가중치의 하루 시나리오 100개를 사용한다. 95% VaR는 누적확률이 처음 95% 이상이 되는 최소 손실액으로 정한다. 손실을 작은 순서로 정렬했을 때 95번째 값이며, 값 사이를 보간하지 않는다.

같은 신뢰수준의 ES는 가장 나쁜 5% 확률 구간의 손실을 평균한 값이다. VaR는 경계가 어디인지, ES는 선택된 꼬리가 평균적으로 얼마나 깊은지를 말한다. 95%는 모형이 옳을 확률도 아니고, 앞으로 100일마다 정확히 5일만 초과한다는 약속도 아니다. 하루 95% 수치와 열흘 99% 수치를 그대로 비교해 안전성을 판단해서는 안 된다.

같은 VaR 아래 숨은 전혀 다른 손실

A와 B에 각각 100개의 가상 손실 시나리오를 만든다. 두 표본 모두 처음 90개는 0이고, 91~95번째는 1,000·1,200·1,400·1,600·2,000달러다. 마지막 다섯 개만 다르다. 실제 시장 성과가 아니라 계산을 재현하기 위한 예제다.

95번째가 같으므로 두 포트폴리오의 95% VaR는 모두 2,000달러다. 그러나 A의 95% ES는 (2100 + 2200 + 2300 + 2400 + 2500) ÷ 5 = 2,300달러, B는 (2100 + 2400 + 3000 + 5500 + 12000) ÷ 5 = 5,000달러다. 시작 자산 대비 경계는 둘 다 2%지만, 꼬리 평균은 2.3%와 5%로 갈린다.

B의 표본 최대 손실은 여전히 12,000달러다. ES는 전체 평균 손실도, 최악의 경우도 아니다. 표본 최대치조차 관측하지 못한 미래 충격의 상한을 보장하지 못한다. VaR만 제시한 보고서가 감춘 차이를 ES로 보완하되, 극단 시나리오를 별도로 남겨야 한다.

97.5% ES에는 부분 가중치가 필요하다

100개 등가중 시나리오에서 가장 나쁜 2.5%는 최악의 두 개 전체와 세 번째의 절반 가중치로 구성된다. 정해 둔 분위수 규칙상 B의 97.5% VaR는 98번째인 3,000달러다. ES는 다음처럼 계산한다.

(12000 + 5500 + 0.5 × 3000) ÷ 2.5 = 7,600달러.

3,000달러를 엄격히 초과하는 두 개만 평균하면 8,750달러가 나오지만, 그 확률은 2%에 불과하다. 세 개를 모두 포함하면 3%가 된다. 절반 가중치는 확률을 나누는 방식이지 실제 거래일을 반으로 만드는 것이 아니다. 경계에서 같은 값이 반복돼도 필요한 확률만 포함한다. 소프트웨어마다 분위수 보간 기본값이 다를 수 있으므로, 데이터 오류를 의심하기 전에 계산 규칙부터 맞춘다.

한 가지 한도 통과가 다른 한도 초과를 없애지는 않는다

내부 정책이 같은 하루 95% 기준으로 VaR 한도 2,500달러, ES 한도 4,000달러를 설정했다고 가정하자. B는 첫 번째를 통과하지만 두 번째는 초과한다. 모순이 아니라 분포의 서로 다른 특성을 제한한 결과다. 통과한 숫자만 골라 보고한다고 꼬리위험이 사라지지는 않는다.

노출이 완전히 선형이고 시나리오가 같으며 추가 비용이 없다면, 모든 포지션을 80%로 줄였을 때 각 모형 손실도 80%가 된다. B의 VaR는 1,600달러, ES는 4,000달러, 표본 최대 손실은 9,600달러다. 이는 민감도 계산일 뿐 실제로 80% 포지션이 안전하거나 그 가격에 정리된다는 보장은 아니다. 옵션, 시장충격, 자금조달, 헤지 변경은 재평가가 필요하다. 추정치를 한도에 딱 맞추면 추정오차를 흡수할 여유도 없다.

꼬리를 더 잘 측정해도 잘못된 모형은 남는다

역사적 시뮬레이션은 과거 위험요인 변화를 오늘의 고정 포지션에 적용해 가치를 다시 계산한다. 실제 계좌의 일별 손익에는 레버리지 변경, 입출금, 임의 매매가 섞일 수 있어 다른 질문에 답하게 된다. 기업행동에 따른 가격 조정, 오래된 호가, 누락 자료, 환산통화와 수수료 반영 여부를 먼저 확인해야 한다.

100개 표본의 95% 꼬리에는 다섯 개밖에 없다. 조용한 구간은 위기를 담지 못하고, 지나치게 긴 구간은 최근 변동성 변화를 희석할 수 있다. 구간과 가중치를 바꿨을 때 결과가 얼마나 달라지는지 보고, 표본 밖의 갭·유동성·상관관계 충격도 별도로 시험한다. 손절 주문이 있다고 해서 밤사이 급변 이후 체결가격이 고정되지는 않는다.

하루 위험에 열의 제곱근을 곱해 열흘 위험으로 바꾸는 방법도 자동으로 성립하지 않는다. 분위수가 정확히 그렇게 확대되려면 독립·동일분포 정규 증분, 고정 선형 노출, 안정적인 변동성 같은 모형 조건과 평균항의 별도 처리가 필요하다. 시계열 의존성, 점프, 비선형 손익에는 그 지름길을 그대로 적용할 수 없다.

안심 표시 대신 재현 가능한 검토 기록을 남긴다

포지션 기준시점, 평가법, 시나리오 날짜, 가중치, 손실 단위를 저장한다. 손실을 오름차순으로 정렬하고 분위수 순위를 기록한 뒤, 지정된 꼬리확률만 정확히 평균한다. 필요하면 부분 가중치를 적용하고 별도의 계산으로 대조한다. 그다음 동일 기간과 신뢰수준의 한도와 비교한다. 금액·자산 대비 비율·증거금은 같은 단위가 아니다.

미래 손실이 발생하기 전에 작성한 예측을 실제 표본 외 결과로 검증한다. 정확히 보정된 연속 95% 모형에서 독립 관측 100회의 예상 초과 횟수는 다섯 번이지만, 반드시 다섯 번이라는 뜻은 아니다. 횟수뿐 아니라 초과가 몰리는지, 손실이 얼마나 깊은지도 살핀다. 추정값과 증거의 강도는 승률의 표본 크기와 신뢰구간에서도 구분해야 한다.

마지막에는 한도 충족 여부, 스트레스 시나리오 결과, 추정치를 무효로 만드는 가정 변화를 따로 적는다. VaR와 ES는 손실을 이해하는 도구이지, 손실을 그 숫자에서 멈추게 하는 장치가 아니다.