선도 변동성: 두 옵션 만기 사이의 위험을 읽는 법

한 만기의 내재변동성은 60%, 다른 만기는 35%다. 첫 번째를 비싸다고 팔고 두 번째를 싸다고 사도 될까. 두 숫자가 다루는 기간부터 다르다. 연율 수치가 낮아도 누적 불확실성은 더 클 수 있으며, 두 옵션이 같은 중요 발표를 함께 포함할 수도 있다.

선도 변동성은 공통 기간에 배정된 위험을 빼고 두 만기 사이에 남는 구간을 살핀다. 이때 빼야 하는 것은 변동성이 아니라 분산이다. 계산 결과는 일관된 정의 아래의 가격 진단이지, 확정적 전망이나 캘린더 스프레드 매매 신호가 아니다.

기간과 측정 기준부터 맞춰야 한다

σ를 소수로 표시한 연율 변동성, T를 연 단위 기간이라 하면 단순화한 틀에서 누적 분산은 w(T) = σ²T다. 정의가 일치하는 분산 노출에서는 긴 기간이 짧은 기간을 포함한다. 남은 구간의 연율 분산은 [w(T₂) − w(T₁)] / (T₂ − T₁)이다.

동일한 기준의 분산 노출을 비교할 때 이 관계가 가장 명확하다. 등가격 옵션 두 개의 내재변동성을 넣는 것은 근사법이며 행사가, 변동성 스마일, 모형의 영향을 받는다. 선도 분산 스왑의 공정 수준이 선도 변동성 스왑 수준의 제곱과 같다고 볼 수도 없다. 평균을 낸 뒤 제곱근을 구하는 것과 순서를 바꾸는 것은 다르다.

아래는 달력 일수÷365를 쓴다. 거래일 기준이나 별도의 이벤트 시간척도를 사용하는 시스템이라면 모든 입력을 일관되게 바꿔야 한다. 한 곳의 365만 252로 바꾸면 안 된다.

7일 60%, 35일 35%에서 남은 28일 구하기

기초자산, 관측 시점, 분산 정의가 같은 가상 수치다. 계산에서는 각 변동성을 누적 분산에 대응하는 연율 수준으로 취급한다.

w₇ = 0.60² × 7/365 = 0.0069041
w₃₅ = 0.35² × 35/365 = 0.0117466
σ₇,₃₅ = √[(0.35² × 35 − 0.60² × 7)/28] = 25.125%

35일의 연율 변동성은 낮지만 누적 분산은 더 크다. 두 누적 분산의 제곱근은 8.309%와 10.838%로, 각 보유기간에 맞춘 변동 규모다. 보장된 가격 범위도, 발표 결과의 정확한 확률도 아니다. 남은 28일의 누적 분산은 0.0048425다.

변동성을 그대로 시간 가중해 (35% × 35 − 60% × 7)/28을 계산하면 28.75%가 나오지만 대상 수량이 틀렸다. 제곱, 시간 가중, 차감, 잔여 기간으로 나누기, 제곱근 순서로 계산해야 한다.

이벤트가 어느 구간에 들어가는가

발표가 5일째라면 두 만기에 모두 포함된다. 7일 수치가 높고 35일 평균이 낮은 모습은 위험이 앞부분에 집중된 상황과 양립한다. 이 예에서 뒤쪽 구간은 상대적으로 조용하다. 그렇다고 발표만의 분산을 추출한 것은 아니다. 첫 7일에는 평상시 거래, 다른 소식, 위험 프리미엄도 들어 있다.

발표가 20일째라면 긴 만기에만 들어간다. 7일 20%, 35일 40%인 별도 사례의 선도 변동성은 √[(0.40² × 35 − 0.20² × 7)/28] = 43.589%다. 전체 평균 40%가 뒤쪽 구간의 더 높은 위험 집중도를 희석한 셈이다.

어느 계산도 가격 방향이나 옵션 매수자의 수익을 예측하지 않는다. 주가가 올라도 콜옵션이 손실을 내는 재평가 사례처럼 시간 경과와 내재변동성 변화가 함께 작용한다.

잘못된 결론으로 이어지는 세 가지 지름길

잔여 분산이 음수라면 데이터부터 조사한다. 7일 70%, 35일 30%를 넣으면 분자는 −0.28, 연율 선도 분산은 −0.01이 된다. 일관되고 가산 가능한 분산 노출에서 미래 구간에 음의 분산을 배정할 수는 없다. 오래된 호가, 시점 차이, 넓은 호가 스프레드, 비교 불가능한 곡면 지점을 점검해야 한다. 대략적인 등가격 호가 두 개만으로 실행 가능한 차익거래를 입증할 수 없다.

가격 곡선은 현실의 확정적 전망이 아니다. 가격에는 위험 보상, 헤지 수요, 모형이 반영된다. 내재 기대분산의 제곱근이 미래 변동성의 기대값과 반드시 같지는 않다.

캘린더 스프레드는 순수한 선도 분산 포지션이 아니다. 델타, 감마, 베가, 만기 노출은 행사가에 따라 달라지므로 계약 수를 맞춰도 민감도가 상쇄되지 않는다. 행사·배정, 증거금, 비용도 중요하다. VIX 선물은 미래 지수 수준과 그 이후 측정 구간을 참조하는 별도 상품으로, 여기서 사용한 오늘부터의 두 변동성 중 하나가 아니다.

숫자를 활용하기 전 다섯 가지 확인

1. 실제 시간 구간을 그린다. 호가 시점, 만기 결제 시각, 발표 시간을 적고 이벤트가 어느 구간에 포함되는지 확인한다.
2. 상품과 단위를 통일한다. 기초자산, 계약 조건, 연율 기준, 분산 정의를 맞추고 등가격 근사인지 밝힌다.
3. 누적 분산을 검산한다. 짧은 기간과 잔여 구간의 합이 긴 기간과 같아야 한다. 소수와 백분율을 혼동하지 않는다.
4. 실행 가능한 호가 범위를 대입한다. 만기가 가까우면 작은 호가 오차가 짧은 분모 때문에 증폭될 수 있다.
5. 실제 포지션을 재평가한다. 기초자산, 두 곡면, 시간 경과, 발표 연기를 스트레스 테스트하고 청산·조달 비용, 배정 및 가설 무효화 조건을 포함한다.

유용한 결과물은 날짜와 정의가 명확한 분산 지도다. 그다음 선택한 상품이 정말 원하는 기간의 노출을 제공하는지 확인해야 한다.