델타 중립인데 왜 손실이 날까: 감마와 헤지 비용

어제 델타를 0으로 맞췄는데 오늘 손실이 났다면 헤지가 잘못된 것일까. 반드시 그렇지는 않다. 델타 중립은 특정 시점의 모형에서 기초자산 가격의 작은 변화가 주는 1차 영향을 상쇄했다는 뜻이다. 옵션 가격을 고정하거나 모든 위험을 없앴다는 의미가 아니다.

판단의 출발점은 남아 있는 위험이다. 감마, 시간의 경과, 내재변동성, 거래비용을 구분해야 헤지가 무엇을 해결했고 무엇을 해결하지 못했는지 알 수 있다.

델타를 실제 기초자산 수량으로 환산한다

델타는 옵션 가격의 국소적인 기초자산 가격 민감도이고, 감마는 기초자산 가격이 움직일 때 델타가 바뀌는 정도다. 주식으로 델타를 상쇄할 수 있지만 일반 주식에는 옵션과 같은 감마가 없다. 단순 콜·풋 매수는 양의 감마, 매도는 음의 감마를 가진다. 여러 계약은 수량과 매수·매도 부호를 반영해 합산해야 한다.

가상의 유럽형 콜옵션을 보자. 주가와 행사가격은 100, 잔존만기는 달력일 기준 30일, 연율 변동성은 20%, 금리와 배당은 0이다. 1년을 365일로 둔 블랙·숄즈 모형의 기초자산 1주당 옵션 가치는 약 2.2872다. 델타는 0.511436, 감마는 0.069548, 하루 세타는 −0.038109, 변동성 1%포인트당 베가는 0.114326이다.

계약 10개, 계약승수 100을 가정하면 옵션 단위는 총 1000개이며 초기 헤지는 약 511.436주 공매도다. 승수는 이 사례의 가정이지 모든 시장의 규칙이 아니다. 계산에서는 소수점 주식 수를 허용하고 조달·차입·거래비용을 일단 제외한다. 실제 거래 단위로 반올림하면 잔여 노출이 생긴다.

가격이 움직이면 필요한 헤지 수량도 변한다

시간과 변동성은 그대로인데 주가가 즉시 2 오른다고 하자. 초기 감마로 추정한 포지션 델타 증가는 1000×0.069548×2＝139.10주다. 기존 주식 공매도만으로는 새로운 옵션 델타를 상쇄하지 못하므로, 중립을 회복하려면 대략 139주를 추가 매도해야 한다. 실행 전 실제 민감도를 다시 계산하는 것이 전제다.

반대로 하락하면 양의 감마 포지션은 공매도 주식 일부를 되사야 한다. 상승 후 매도하고 하락 후 매수하는 구조가 유리해 보여도 공짜 이익은 아니다. 볼록성에는 옵션 프리미엄이 들고, 이 매수 포지션은 시간가치 감소를 부담하며, 재조정마다 호가 차이를 지불한다.

139.10주는 국소 근사치다. 큰 변동에도 감마가 고정된다고 가정하면 안 된다. 만기가 가깝고 주가가 행사가격 부근이면 민감도가 빠르게 변할 수 있다. 갭이 생기면 예정했던 조정 가격을 여러 단계 건너뛰므로, 사전에 중립이었다는 사실로 사후의 체결 공백을 없앨 수 없다.

감마 효과와 하루의 시간 손실을 분리한다

초기 주식 헤지를 그대로 유지한 채 하루 뒤를 평가한다. 잔존만기는 29일, 변동성은 20%다. 국소 손익 근사는 1000×［½×감마×주가 변화의 제곱＋일일 세타］다. 델타의 1차 항은 상쇄됐지만 곡률과 시간 항은 남아 있다.

모두 비용 차감 전의 가상 통화 단위다. 마지막 열은 새 옵션 가치의 변화와 기존 주식 공매도 손익을 합산했다. 명시한 모형 안의 재평가일 뿐 시장의 체결 가격을 보장하지 않는다. 감마와 고차 효과가 변하기 때문에 상승과 하락의 결과도 완전히 대칭적이지 않다.

주가가 1 올라가도 손실이다. 곡률 이익이 하루의 시간가치 감소보다 작기 때문이다. √（−2×일일 세타÷감마）로 구한 국소 손익분기 절대 가격 변화는 약 1.047이다. 하루, 고정 헤지, 변동성 불변이라는 조건의 근사값이지 보편적인 매매 기준이나 지속 재조정 전략의 실현변동성 손익분기점이 아니다.

내재변동성이 낮아지면 가격만 본 결론이 뒤집힌다

하루 동안 주가가 2 오르면서 내재변동성은 20%에서 18%로 낮아졌다고 하자. 상대적으로 2% 하락한 것이 아니라 2%포인트 하락한 것이다. 초기 베가로 구한 추가 손실은 1000×0.114326×2＝228.65다. 국소 항을 합하면 100.99−228.65＝−127.66 정도다.

새 주가와 29일 만기, 변동성 18%를 함께 넣어 모형 전체를 재평가하면 약 −112.18이다. 차이는 근사의 한계를 보여 준다. 유한한 가격 변화, 시간 경과, 변동성 변화는 서로 영향을 주며 초기 민감도만으로는 교차항과 고차 효과를 모두 반영할 수 없다.

주식 헤지는 베가를 없애지 않는다. 실제 포지션에는 변동성 스큐와 기간구조, 배당, 조기행사 조건도 있다. 풋·콜 패리티의 현금흐름 구조 역시 자금조달과 계약 조건을 옵션 비교에서 제외하면 안 되는 이유를 설명한다.

자주 조정한다고 순이익이 늘지는 않는다

더 잦은 재조정은 오래된 델타로 버티는 시간을 줄이지만 거래량을 늘릴 수 있다. 별도의 실행 예에서 매수·매도 절대 수량 합계가 800주, 주당 포괄 실행비용이 0.03이라면 비용은 24다. 비용 전 이익 20은 차감 후 −4가 된다. 매수와 매도를 각각 한 번씩 집계하고, 스프레드 가정에 이미 포함한 비용은 중복 차감하지 않는다. 차입료와 조달비용은 별도다.

고정 시간, 델타 허용 범위, 이벤트를 기준으로 하는 조정 규칙은 서로 다르다. 동일한 가격 경로와 호가 차이, 슬리피지 조건으로 비교해야 한다. 다음 봉 가격을 미리 알거나 언제나 중간 호가로 거래할 수 있다고 가정한 검증은 실현 가능한 수익의 증거가 아니다.

음의 감마는 반대 압력을 받는다. 대체로 상승 후 매수하고 하락 후 매도하게 된다. 단순 옵션 매도는 시간가치 감소에서 이익을 얻을 수 있지만 큰 변동이 이를 압도할 수 있다. 미결제약정만으로는 누가 어느 쪽을 보유하는지 알 수 없으므로 시장조성자 전체의 감마 부호를 단정할 수도 없다.

검증 가능한 헤지 기록을 남긴다

기초자산, 행사 방식, 결제, 만기, 승수, 포지션 방향, 실제 체결 가능한 가격부터 기록한다. 옵션 델타를 기초자산 단위로 바꾼 뒤 주식이나 선물 헤지와 맞추고, 베이시스 불일치와 수량 반올림도 따로 적는다. 세타의 일수 기준과 베가의 변동성 단위도 통일해야 한다.

상승·하락·횡보를 각각 계산한 뒤 시간과 변동성 변화를 결합한다. 큰 충격은 시작 시점의 감마를 늘려 쓰지 말고 포지션 전체를 재평가한다. 마지막으로 호가 차이, 슬리피지, 조달·차입료를 포함한 실제 손익을 대조하고, 모형 노후화나 갭, 유동성 부족으로 조정 계획이 무효가 되는 조건을 정한다.

타당한 결론은 “이 시점과 입력값에서 1차 가격 노출이 거의 0”이라는 것이다. 이를 “손실이 나지 않는 포지션”으로 확대하면 안 된다. 헤지는 남은 위험을 관리하는 일이다.