Pairs trading: la correlazione non garantisce il ritorno alla media

Due azioni possono salire insieme per anni e allontanarsi sempre più l’una dall’altra. Comprare il titolo rimasto indietro e vendere quello più forte non prova che il divario debba chiudersi. La correlazione descrive movimenti comuni; il ritorno alla media richiede evidenza sulla stabilità di uno spread definito prima di osservare il risultato. Va poi verificato se mantenerlo è economicamente sostenibile.

Occorre far coincidere tre livelli: residuo statistico, numero di azioni e flussi di cassa. Un piccolo p-value o un incasso netto iniziale non sostituisce questa verifica.

Quale relazione viene davvero verificata?

La correlazione dei rendimenti misura l’associazione lineare nel campione. La cointegrazione riguarda una combinazione lineare stazionaria di serie di prezzi individualmente integrate. Nel modello X = a + bY + u, con X e Y integrate di ordine uno e u stazionario, S = X − bY oscilla intorno ad a secondo quella specificazione. Una forte correlazione dei livelli non basta a dimostrarlo.

Stima i coefficienti in una finestra di addestramento dichiarata, uniformando valuta, orari, frazionamenti e distribuzioni. Una quotazione non aggiornata può creare un falso scostamento. Prezzi grezzi, logaritmi e indici di rendimento totale generano residui differenti e non corrispondono automaticamente alle stesse posizioni.

Il test sui residui stimati richiede valori critici di cointegrazione coerenti con termini deterministici e campione, non il comune p-value di un test di radice unitaria su una serie osservata. Nell’approccio usuale a due stadi, l’ipotesi nulla è assenza di cointegrazione. Respingerla offre evidenza condizionata al modello, non una scadenza certa per la convergenza; non respingerla non prova che il legame sia inesistente.

Tradurre il coefficiente in azioni

Usiamo titoli ipotetici in dollari, senza dividendi né operazioni societarie nell’esempio. Un modello già stimato ha a = 10 e b = 2. A X = 114 e Y = 50, S vale 14, quattro punti sopra la media. Se la deviazione standard residua nel training è 2, lo scostamento standardizzato è +2. Non significa probabilità di inversione del 95%: normalità, indipendenza e stabilità non sono state dimostrate.

La posizione illustrativa vende allo scoperto 100 azioni X e acquista 200 Y. L’esposizione lorda è 21.400 dollari e l’incasso netto iniziale 1.400. Quest’ultimo non è profitto né misura del margine richiesto. A quantità costanti:

Risultato = 100 × [(X₀ − 2Y₀) − (X₁ − 2Y₁)]

Le prime due righe producono 400 dollari sia con entrambi i prezzi in rialzo sia con entrambi in discesa. L’ultima perde 800 pur con rialzi comuni. Conta il movimento relativo. Due azioni Y per una X valgono solo per questo modello in livelli nella medesima valuta. Nei logaritmi, b è una sensibilità proporzionale locale: per ricavarne azioni servono prezzi correnti e regole di ribilanciamento. La regressione non implica neutralità in dollari o al beta di mercato.

Il tempo di dimezzamento non è una data di rientro

Supponiamo uₜ = φuₜ₋₁ + εₜ, con innovazioni di media condizionata nulla, parametri fissi e 0 < φ < 1. Lo scostamento atteso dopo k osservazioni è φᵏu₀. Il tempo di dimezzamento ln(0,5)/ln(φ) è circa 3,11 osservazioni con φ = 0,80; 13,51 con 0,95; e 68,97 con 0,99.

Sono giorni osservati soltanto se i dati sono giornalieri. Non indicano il tempo mediano di primo raggiungimento di un obiettivo, né promettono di recuperare metà perdita. Un percorso può divergere molto mentre il valore atteso diminuisce. Vicino a uno, piccoli errori cambiano radicalmente il risultato; a uno non esiste un tempo finito di dimezzamento per il ritorno in questo modello. Coefficienti negativi o dinamiche più articolate richiedono un’altra lettura.

Confronta il periodo con finanziamento, prestito titoli e lunghezza del campione. Una stima di 69 osservazioni tratta da pochi dati instabili è una base fragile. Spostare la media dopo ogni perdita può nascondere una rottura strutturale.

Il riavvicinamento deve pagare due gambe e l’attesa

Da S = 14 a 10 si guadagnano 400 dollari lordi. Con costi complessivi di esecuzione, prestito e finanziamento di 80, restano 320 netti; con 450, si perdono 50 anche se lo spread converge. Sono ipotesi di spesa, non tariffe attuali. Per 100 unità di spread, coprire 80 dollari richiede almeno 0,8 punti favorevoli.

Includi apertura e chiusura delle due gambe, dividendi dovuti sullo scoperto, imposte applicabili e vincoli sui proventi della vendita. Il richiamo dei titoli può imporre un’uscita anticipata; una sola gamba eseguita lascia rischio direzionale. L’incasso netto non annulla garanzie sull’esposizione lorda o perdite da gap.

Acquisizioni, cambiamenti del modello di attività o shock persistenti di finanziamento possono cambiare l’equilibrio. Definisci quando sospendere il modello prima di descrivere ogni ulteriore divergenza come uno sconto.

Una verifica che ammette di scartare l’idea

1. Documentare legame economico, trasformazioni, valuta, orari e unità negoziabili.
2. Conservare stime, incertezza, diagnostica dei residui e coppie scartate.
3. Fissare spread, entrate, uscite, limiti e costi prima dei dati successivi.
4. Riconciliare eseguiti, distribuzioni, cassa e garanzie; simulare ritardi e indisponibilità del prestito.
5. Scartare conclusioni che dipendono da parametri modificati di continuo, prezzi ineseguibili o costi mancanti.

Selezionare una coppia fra migliaia aggiunge il problema dell’overfitting da prove multiple nel backtest. La cointegrazione può motivare un approfondimento; non obbliga i prezzi a ritrovarsi.