USD/JPY perde il 10%: perché lo yen guadagna l’11,11% e non il 10%?

Quando USD/JPY scende da 150 a 135, il dollaro perde il 10% contro lo yen. Nello stesso intervallo, lo yen guadagna però l’11,11% contro il dollaro. Non è un’incoerenza: invertendo il cambio si modifica il prezzo misurato e, con esso, il denominatore della variazione percentuale.

La differenza non offre un arbitraggio e non rappresenta un rendimento aggiuntivo. È invece decisiva per confrontare la forza delle valute o riconciliare un grafico con il valore di un saldo in valuta estera. Le quotazioni e le somme qui utilizzate sono ipotetiche; interessi e spese sono esclusi, salvo lo scarto denaro/lettera introdotto esplicitamente.

Partire dall’unità di misura evita l’errore di segno

USD/JPY a 150 indica 150 yen per un dollaro. Il cambio inverso, JPY/USD, esprime 1/150 dollari per yen. Se il primo cambio scende a 135, un yen vale 1/135 dollari: il dollaro compra meno yen, mentre lo yen compra più dollari.

La variazione di USD/JPY è 135/150 − 1 = −10%. Quella del cambio inverso è (1/135)/(1/150) − 1 = 150/135 − 1 = +11,11%. Sostituire il meno con il più non esegue questo secondo calcolo. Il periodo è identico, ma la valuta usata come unità e la base del confronto sono diverse.

Invertire il rapporto di crescita, non la percentuale

Sia Q la quantità di valuta quotata per unità della valuta base, con cambio iniziale Q0 e finale Q1 entrambi positivi. Il rendimento semplice diretto è r = Q1/Q0 − 1; quello inverso è s = Q0/Q1 − 1. Ne segue s = −r/(1+r), con (1+r)(1+s) = 1. Nelle formule −10% va inserito come −0,10.

Un calo del 20% nella quotazione corrisponde quindi a un rialzo del 25% nel suo inverso. Per oscillazioni minime, s ≈ −r può risultare un’approssimazione accettabile per alcune analisi, ma non è un’identità. L’errore cresce con l’ampiezza del movimento e non va ignorato quando si devono verificare importi monetari.

Invertire le valute è inoltre diverso dall’invertire il tempo. Una discesa del 10% seguita da una salita del 10% porta 150 a 148,5: 150 × 0,90 × 1,10. Per risalire da 135 a 150 serve l’11,11%. La questione del denominatore è comune, ma le due operazioni descrivono confronti distinti.

Ricostruire il rendimento attraverso il saldo in valuta

Un risparmiatore converte 10.000 dollari al cambio di 150 e riceve 1.500.000 yen. Li detiene senza interessi e in seguito li riconverte al cambio di 135. Ottiene 11.111,11 dollari, ossia l’11,11% in più rispetto ai 10.000 iniziali. Il rendimento in dollari segue l’apprezzamento dello yen espresso in dollari, non il −10% del grafico USD/JPY.

Questa è una conversione di liquidità interamente finanziata, non il calcolo di una posizione corta con leva. Un contratto può liquidare il risultato in yen e convertirlo nella valuta del conto secondo regole proprie. Il rendimento può anche avere come denominatore il patrimonio del conto oppure il margine depositato. Applicare l’11,11% al margine non permette quindi di ricavare l’utile della posizione.

Ogni confronto deve precisare che cosa è stato detenuto, in quale valuta si misura il risultato e quale capitale iniziale viene utilizzato. Una variazione del cambio non contiene da sola le condizioni di finanziamento, le regole contrattuali o i flussi intervenuti sul conto.

La conversione effettiva richiede denaro e lettera

Supponiamo un USD/JPY denaro/lettera di 150,00/150,04 all’inizio e di 135,00/135,04 alla fine. Chi vende dollari usa il denaro, 150,00, cioè il prezzo al quale l’intermediario li acquista. Quando ricompra dollari con gli yen, paga invece la lettera, 135,04. Il valore finale è 1.500.000/135,04 = 11.107,82 dollari: circa l’11,0782% di rendimento prima delle spese separate.

I 3,29 dollari in meno rispetto all’esempio senza scarto denaro/lettera sono già compresi nei prezzi impiegati. Sottrarre nuovamente lo stesso scarto significherebbe duplicare il costo. Commissioni fatturate a parte, ulteriori spese di conversione e interessi sulla liquidità devono invece comparire separatamente nel conteggio.

Invertendo una quotazione a due prezzi, anche i lati si scambiano: denaro inverso = 1/lettera originaria; lettera inversa = 1/denaro originario. Per seguire il verso delle singole operazioni si può consultare il calcolo dei cambi incrociati e dei prezzi denaro e lettera inversi. Un cambio di riferimento o un prezzo medio del grafico serve a confrontare i valori, ma non garantisce la possibilità di convertire a quel livello.

Il rendimento logaritmico cambia esattamente segno

Con quotazioni rilevate secondo lo stesso criterio, il rendimento logaritmico è ln(Q1/Q0). Per il cambio inverso diventa ln(Q0/Q1), esattamente il suo opposto. La proprietà è utile per uniformare il verso delle valute in un’analisi statistica e sommare i rendimenti di periodi successivi.

Non rende però simmetrici i rendimenti semplici della liquidità. Dato un rendimento logaritmico g, quello semplice si ottiene con exp(g) − 1. Presentare direttamente g come percentuale guadagnata sul capitale del conto confonde due misure. Uniformare il verso dei cambi, inoltre, non elimina differenze negli orari di rilevazione o nelle valute di riferimento.

Tre controlli prima di confrontare due rendimenti

Per prima cosa, annotare le unità —per esempio yen per dollaro— e allineare date, orari, fonte e convenzione di prezzo. Una serie denaro non è intercambiabile con una serie di prezzi medi. Il prodotto e l’intervallo osservato devono essere gli stessi.

Poi calcolare Q1/Q0 e il suo reciproco prima di sottrarre uno a ciascun valore. Per quotazioni esattamente inverse, il prodotto dei fattori deve essere uno. Se non torna, controllare arrotondamenti, date scambiate, lati denaro/lettera mescolati o strumenti differenti. Conservare la precisione dei passaggi intermedi e arrotondare soltanto il risultato esposto.

Infine, se interessa il guadagno effettivo del conto, ricostruire le conversioni con prezzi eseguiti, commissioni, interessi e regole di liquidazione. In questo esempio, senza versamenti o prelievi durante il periodo, il risultato netto si rapporta al capitale iniziale. Se intervengono flussi esterni tra le due date, occorre considerarne anche gli importi e i tempi per misurare la performance. Salti di prezzo e leva modificano il risultato del conto, ma non l’identità matematica tra due cambi positivi reciproci.