Premio per il rischio di varianza: distinguere passato, previsioni e risultato finale

Quando la volatilità implicita è al 20% e quella storica al 15,87%, la differenza può sembrare un margine già disponibile per il venditore. Ma non è così che si forma il risultato di un’esposizione alla varianza. Occorre distinguere un prezzo riferito al futuro, una previsione costruita oggi e il dato che verrà effettivamente osservato. La storia può aiutare la previsione; non può sostituirla senza un’ipotesi esplicita.

I 148 punti sopra la varianza storica non sono denaro incassato

Immaginiamo venti rendimenti logaritmici giornalieri passati, composti da dieci coppie +0,01 e −0,01. La somma dei quadrati è 0,0020. Moltiplicando per 252÷20 si ottiene una varianza annualizzata decimale di 0,0252: nella convenzione usata qui sono 252 punti di varianza. La volatilità annua corrispondente è 15,874508%.

Supponiamo poi di fissare oggi un livello contrattuale di 400 punti, equivalente al 20% di volatilità perché 20²=400. La differenza di varianza è 148 punti. Sottrarre le volatilità dà invece circa 4,125492 punti percentuali. Le unità non sono intercambiabili e nessuno dei due scarti è già un pagamento.

Inoltre, il primo livello riguarda una finestra futura, mentre il secondo misura un periodo terminato. I 148 punti diventano una stima del premio solo scegliendo di usare la varianza passata come previsione di quella futura. È un modello da giustificare, non una conseguenza automatica del grafico. Una diversa valutazione dei movimenti estremi può cambiare il risultato atteso lasciando invariata tutta la storia osservata.

Il confronto corretto è fra due aspettative sul medesimo futuro

Adottiamo il segno E^Q[RV futura]−E^P[RV futura], dove RV è la varianza realizzata della stessa finestra futura. Q indica le ponderazioni di valutazione; P le probabilità fisiche o statistiche usate per prevedere. Non si tratta di una visione rialzista contrapposta a una ribassista. L’aspettativa condizionata sotto P non è osservabile direttamente e va stimata usando informazioni disponibili in quel momento.

In un contratto ideale a valore iniziale nullo, se il livello di varianza K coincide con l’aspettativa Q del medesimo oggetto, K meno previsione di RV è una stima del premio con questa convenzione. Prezzo eseguibile, finanziamento, garanzie, credito e osservazione discreta possono richiedere rettifiche. Non assumiamo che l’IV di una sola opzione at the money, o VIX al quadrato, sia un K effettivamente vendibile.

L’esempio è un’esposizione ipotetica che inizia oggi, osserva venti rendimenti giornalieri futuri e regola una differenza alla fine. Non descrive un contratto a venti giorni realmente quotato. Ventuno prezzi generano r_i=ln(P_i/P_(i−1)) in decimali. La varianza in punti è 10.000×(252÷20)×Σr_i². Non si sottrae la media e non si usa 19 al denominatore: questa è la misura scelta per il regolamento, non uno stimatore della deviazione standard campionaria.

Poniamo K=400 e un’esposizione complessiva di 100 dollari per punto. Con interesse nullo, senza rettifica creditizia e inizialmente senza costi, il risultato lordo del venditore è 100×(400−RV in punti); quello del compratore ha segno opposto. I 100 dollari non sono capitale investito né il moltiplicatore attribuito a un contratto reale. E 400 punti non significano rendimento del 400% o premio monetario di 400 dollari.

Tornare al prezzo iniziale non significa cancellare la varianza

Il percorso futuro A ripete dieci coppie di rendimenti logaritmici +0,01 e −0,01. B ne ripete nove e negli ultimi due giorni registra −0,08 e +0,08. Entrambi iniziano a 100, sono a 100 al giorno 18 e terminano a 100 al giorno 20. Gli ultimi movimenti di B equivalgono a variazioni semplici di circa −7,688365% e +8,328707%, non a una discesa dell’8% seguita da una salita dell’8%.

La varianza di B è 10.000×(252÷20)×(18×0,01²+2×0,08²)=1.839,6 punti. Il recupero del prezzo non elimina i contributi al quadrato già accumulati. Il venditore guadagna 14.800 dollari lordi in A e ne perde 143.960 in B, pur con un rendimento di detenzione del sottostante pari a 0% in entrambi.

Si osservano soltanto i prezzi giornalieri specificati, non tutta l’escursione intraday. Frequenze o prezzi di rilevazione diversi possono cambiare la misura. I percorsi rappresentano due esiti di varianza, ma non tutti gli stati di un processo negoziabile del prezzo azionario. Non sono quindi una prova di assenza di arbitraggio dinamico né consentono di ricavare probabilità Q calibrate al mercato.

Due previsioni, la stessa storia e aspettative di segno opposto

Introduciamo una previsione separata per la sola RV futura: 252 punti con probabilità 1−q e 1.839,6 con probabilità q. Quest’ultima è un’ipotesi esplicita per l’analisi di sensibilità, non una frequenza reale stimata dai venti giorni precedenti.

La previsione di varianza è 252+1.587,6q; lo scarto fra K e previsione è 148−1.587,6q. I 1.000 dollari in tabella sono un costo totale fisso ipotizzato per il calcolo, non la tariffa attuale di un mercato.

Con q=5%, il risultato lordo atteso è 0,95×14.800+0,05×(−143.960)=6.862 dollari. Con q=10% diventa −1.076 dollari. Dati storici e K sono identici: cambia soltanto la probabilità assegnata alla varianza elevata. Il confronto statico tra 15,87% e 20% non coglie questa inversione.

Un valore atteso di 6.862 dollari non promette quel pagamento alla prossima scadenza. Anche con q=5% può verificarsi la perdita lorda di 143.960 dollari. Va inoltre distinta la radice della varianza attesa dalla volatilità attesa: prendere la radice prima o dopo la media ponderata per le probabilità non dà, in generale, lo stesso numero.

Il costo sposta la soglia che separa le due aspettative

Il risultato lordo atteso è positivo se q<148÷1.587,6, circa il 9,322247%; all’uguaglianza è nullo. Con 100 dollari per punto, un costo di 1.000 dollari equivale a dieci punti. Per un valore atteso netto positivo serve quindi q<(148−10)÷1.587,6, circa l’8,692366%.

Non è una soglia di sicurezza generale. I due esiti e K determinano la soglia lorda; il costo rapportato all’esposizione modifica quella netta. Aumentare soltanto un’esposizione positiva non sposta la soglia lorda. Un movimento estremo più ampio, oppure un K realmente vendibile più basso, può peggiorare il risultato anche mantenendo lo stesso q. La sensibilità deve riguardare l’entità della perdita oltre alla probabilità che le si assegna.

Dopo il costo ipotizzato, gli esiti realizzati sarebbero +13.800 dollari in A e −144.960 in B. Un guadagno isolato non convalida il modello; una perdita isolata non basta a smentire un valore atteso positivo nel lungo periodo. Occorre separare la sorpresa di un esito dall’errore sistematico di previsione. Usare 100 dollari per punto come capitale iniziale per calcolare un rendimento sarebbe un’altra confusione di unità.

La formula vale per l’esposizione definita, non per qualsiasi opzione

Una singola opzione, uno straddle o un portafoglio coperto in delta hanno rischio direzionale, gamma, costi ed effetti della copertura discreta. Non ereditano automaticamente il pagamento lineare in varianza dell’esempio. Margini di variazione dei futures, garanzie e fabbisogni di liquidità intermedi non coincidono con il risultato netto finale.

Le venti osservazioni sono tutte future all’inizio. In un contratto già avviato bisogna separare la varianza nota da quella ancora da osservare. Per scadenze differenti, conviene prima allineare le finestre per interpretare la varianza a termine. Due valori annualizzati non includono necessariamente le stesse date e gli stessi eventi.

Le condizioni reali possono stabilire un prezzo finale particolare e procedure per dati mancanti o interruzioni di mercato. Non si possono cancellare giorni a piacere e ridefinire il numero di osservazioni, né sostituire la RV contrattuale con la volatilità storica di un programma. Un prezzo medio fra denaro e lettera non prova neppure che la quantità richiesta possa essere venduta a quel livello.

Cinque controlli per verificare il ragionamento

1. Definire strumento, date, rilevazioni e condizioni di regolamento. Distinguere ciò che è ancora futuro da ciò che è già noto.
2. Uniformare rendimento logaritmico o semplice, annualizzazione e conversione in punti di varianza. Tenere separati volatilità, varianza e importo monetario.
3. Registrare storia e previsione separatamente, fissando dati e metodo disponibili allora. Un q non stimato resta un’ipotesi, non una probabilità osservata.
4. Calcolare il risultato con il lato eseguibile della quotazione, l’esposizione complessiva e i costi. Variare probabilità e intensità dell’esito sfavorevole per cercare cambi di segno.
5. Alla fine riconciliare RV e denaro con la previsione iniziale. Usare verifiche mobili fuori campione, senza inserire il futuro nelle previsioni passate, e separare errori di modello, esecuzione e contratto.

Il criterio non è soltanto stabilire se l’implicita sia sopra la storica. Bisogna spiegare quale rischio dello stesso futuro viene previsto, a quale prezzo viene assunto e quale perdita rimane possibile. Solo così il premio stimato diventa un’ipotesi controllabile.