Delta neutrale: gamma e costo della copertura

La posizione era neutrale al delta, ma il giorno dopo registra una perdita. Non è necessariamente un errore di copertura: il delta neutralizza la sensibilità di primo ordine a una piccola variazione del sottostante, in un preciso istante e secondo un modello. Non blocca il prezzo dell'opzione né il risultato complessivo.

La verifica utile parte dai rischi residui. Curvatura, tempo, volatilità e costi di esecuzione vanno separati prima di giudicare la bontà dell'hedge. Il seguente caso è ipotetico e contiene tutti gli input necessari per rifare i conti.

Dal delta teorico al numero di azioni

Il delta misura la sensibilità locale dell'opzione al sottostante; il gamma indica come cambia quel delta. Le azioni possono compensare il delta, ma non hanno il gamma delle opzioni. Una call o put semplice acquistata ha gamma positivo, una venduta gamma negativo. Nei portafogli occorre sommare le esposizioni con quantità e segni corretti.

Consideriamo una call europea con azione e strike a 100, scadenza tra 30 giorni di calendario, volatilità annua del 20%, tasso e dividendi nulli. Black–Scholes, con anno di 365 giorni, restituisce un premio per azione di circa 2,2872, delta 0,511436, gamma 0,069548, theta giornaliero −0,038109 e vega 0,114326 per punto percentuale di volatilità.

Dieci contratti con moltiplicatore 100 equivalgono, per ipotesi, a 1.000 unità. La copertura iniziale vende allo scoperto circa 511,436 azioni. Il moltiplicatore non vale per ogni mercato. Nel modello ammettiamo frazioni di azione ed escludiamo inizialmente finanziamento, prestito titoli e commissioni: i lotti reali lascerebbero un residuo da arrotondamento.

Il movimento del sottostante modifica la copertura necessaria

Se l'azione sale immediatamente di 2, a tempo e volatilità invariati, l'incremento approssimato del delta è 1.000 × 0,069548 × 2 = 139,10 azioni. La vendita iniziale non basta più. Per tornare neutrali servirebbe vendere circa altre 139 azioni, dopo aver ricalcolato le sensibilità.

Una discesa richiede invece di ricomprare parte delle azioni. Il gamma positivo porta così a vendere dopo i rialzi e comprare dopo i ribassi. Non è un guadagno gratuito: la convessità è pagata nel premio, questa posizione lunga soffre il trascorrere del tempo e ogni aggiustamento attraversa lo spread.

Il gamma iniziale vale come stima locale, non come coefficiente fisso per grandi variazioni. Vicino allo strike e alla scadenza può cambiare rapidamente. Un gap può superare più livelli di aggiustamento prima che sia possibile negoziare.

Il beneficio della curvatura deve pagare il tempo

Manteniamo invariata la copertura azionaria per un giorno di calendario. Restano 29 giorni e la volatilità è ancora 20%. Il risultato locale è circa 1.000 × [½ × gamma × variazione del prezzo al quadrato + theta giornaliero]. Il termine delta si annulla, gli altri no.

Importi in unità monetarie ipotetiche, prima dei costi. L'ultima colonna somma la variazione del valore della call ricalcolata e il risultato della posizione corta iniziale in azioni. È un calcolo completo nel modello dichiarato, non una promessa di prezzo eseguibile. Gamma variabile e termini di ordine superiore spiegano l'asimmetria tra rialzo e ribasso.

Il rialzo di 1 non basta a coprire il decadimento di un giorno. Il movimento assoluto di pareggio locale è circa 1,047, ottenuto da √(−2 × theta giornaliero ÷ gamma). Vale soltanto per queste ipotesi: un giorno, hedge fisso e volatilità invariata. Non è una soglia universale né la volatilità realizzata di pareggio di una strategia ribilanciata.

La volatilità può rovesciare la conclusione

Nel caso del rialzo di 2 in un giorno, facciamo scendere la volatilità implicita dal 20% al 18%: due punti percentuali, non il 2% relativo. Il vega iniziale stima una perdita aggiuntiva di 1.000 × 0,114326 × 2 = 228,65. Sommando i termini locali si ottiene 100,99 − 228,65 = −127,66.

La rivalutazione completa produce invece circa −112,18. Le variazioni finite di prezzo, tempo e volatilità interagiscono; le sensibilità iniziali non restano costanti. La differenza non va nascosta presentando l'approssimazione come una previsione esatta del valore di mercato.

La copertura azionaria non elimina il vega. In un portafoglio reale contano anche asimmetria della volatilità, struttura per scadenze, dividendi ed esercizio anticipato. I flussi della parità put–call ricordano perché finanziamento e clausole contrattuali non sono dettagli trascurabili.

Più aggiustamenti possono significare meno utile netto

Ribilanciare spesso riduce il tempo trascorso con un delta superato, ma aumenta gli scambi. In un esempio separato, il totale assoluto di acquisti e vendite è 800 azioni, con costo di esecuzione ipotizzato di 0,03 per azione. Il conto è 24: un utile lordo di 20 diventa −4. Ogni operazione si conta una volta; un costo già incluso nello spread non va sottratto di nuovo. Prestito titoli e finanziamento sono aggiuntivi.

Regole a intervalli fissi, fasce di delta e aggiustamenti legati agli eventi devono essere confrontati sullo stesso percorso dei prezzi, con identici spread e slippage. Un test che conosce in anticipo la candela successiva o esegue sempre al prezzo medio non dimostra un profitto ottenibile.

Con gamma negativo la pressione è opposta: comprare dopo i rialzi e vendere dopo i ribassi. Il beneficio temporale di un'opzione venduta può essere superato da un forte movimento. L'open interest, da solo, non identifica chi è lungo e chi è corto e quindi non dimostra il segno del gamma complessivo dei market maker.

Una verifica che possa essere ricostruita

Registrare sottostante, stile di esercizio, regolamento, scadenza, moltiplicatore, direzione e quotazioni eseguibili. Convertire il delta in unità del sottostante e confrontarlo con azioni o futures di copertura, evidenziando basis e arrotondamenti. Specificare la convenzione temporale del theta e l'unità del vega.

Provare rialzo, ribasso e prezzo invariato, poi combinare tempo e volatilità. Per shock ampi, rivalutare l'intero portafoglio. Confrontare infine il risultato con spread, slippage, finanziamento e prestito titoli, definendo quando modello obsoleto, gap o scarsa liquidità rendono impraticabile il piano.

La conclusione sostenibile è limitata: la sensibilità di primo ordine era vicina a zero in quel momento e con quegli input. Non significa che la posizione non possa perdere.