Volatilité forward : lire le risque entre deux échéances d’options

Une échéance affiche 60% de volatilité implicite, une autre 35%. Vendre la première et acheter la seconde paraît séduisant, mais les deux nombres ne couvrent pas la même durée. La volatilité annualisée la plus basse peut correspondre à davantage d’incertitude cumulée. Les deux options peuvent aussi intégrer exactement la même annonce.

La volatilité forward décrit la période comprise entre les échéances, après retrait du risque attribué à leur période commune. Ce sont les variances qu’il faut soustraire, pas les volatilités. Le résultat reste un diagnostic de prix sous des conventions cohérentes, non une prévision certaine ni un signal automatique de spread calendaire.

Mettre les deux échéances sur la même horloge

Avec une volatilité annualisée σ en décimal et une durée T en années, la variance cumulée du cadre simplifié vaut w(T) = σ²T. Pour des expositions de variance compatibles, la période longue englobe la courte. La variance annualisée de l’intervalle restant est donc [w(T₂) − w(T₁)] / (T₂ − T₁).

Cette décomposition est la plus nette avec des expositions de variance définies de façon identique. Utiliser deux volatilités d’options à la monnaie n’est qu’une approximation : strike, sourire de volatilité et modèle comptent. Le carré du taux équitable d’un swap de volatilité forward n’est pas nécessairement le taux d’un swap de variance forward. Prendre une racine et calculer une espérance ne sont pas des opérations interchangeables.

Les calculs ci-dessous utilisent des jours calendaires divisés par 365. Une convention en jours ouvrés exige de revoir tous les paramètres, pas de remplacer isolément 365 par 252.

Décomposer sept jours à 60% et 35 jours à 35%

Supposons le même sous-jacent, le même instant de cotation et une définition compatible de la variance. Ces chiffres sont fictifs. Pour le calcul, les volatilités représentent des niveaux annualisés équivalents en variance.

w₇ = 0,60² × 7/365 = 0,0069041
w₃₅ = 0,35² × 35/365 = 0,0117466
σ₇,₃₅ = √[(0,35² × 35 − 0,60² × 7)/28] = 25,125%

La variance cumulée sur 35 jours est supérieure malgré une volatilité annualisée moindre. Les racines des deux variances donnent 8,309% et 10,838% : des échelles de dispersion sur les horizons respectifs, pas des fourchettes garanties ni des probabilités exactes d’annonce. Les 28 jours restants représentent une variance de 0,0048425.

Le calcul linéaire (35% × 35 − 60% × 7)/28 donnerait 28,75%, mais il porte sur la mauvaise grandeur. Il faut élever au carré, pondérer par le temps, soustraire, diviser par la durée résiduelle, puis prendre la racine.

Placer l’événement dans la bonne fenêtre

Une annonce au cinquième jour figure dans les deux échéances. Un niveau élevé à sept jours et une moyenne plus faible à 35 jours peuvent traduire un risque concentré au début. Le résidu décrit ici une période ultérieure plus calme. Il n’isole toutefois pas la seule variance de l’annonce : la première semaine comprend aussi le marché ordinaire, d’autres nouvelles et une rémunération du risque.

Une annonce au vingtième jour n’entre que dans l’échéance longue. Avec 20% à sept jours et 40% à 35 jours, la volatilité forward devient √[(0,40² × 35 − 0,20² × 7)/28] = 43,589%. Une moyenne de 40% peut ainsi masquer une concentration supérieure dans la seconde période.

Aucun de ces résultats ne donne la direction du cours ni le profit d’un acheteur d’options. Le cas d’un call qui perd malgré la hausse de l’action montre pourquoi revalorisation de la volatilité et temps écoulé doivent aussi être pris en compte.

Trois conclusions à ne pas tirer

Un résidu négatif appelle une enquête sur les données. Sept jours à 70% et 35 jours à 30% donnent un numérateur de −0,28, soit une variance forward annualisée de −0,01. Une variance additive cohérente ne peut attribuer un risque négatif à la période restante. Il faut rechercher prix périmés, décalages horaires, fourchettes larges ou points de surface incompatibles. Deux marques ATM approximatives ne démontrent pas un arbitrage réalisable.

La courbe n’est pas une prévision sous probabilité réelle. Les prix intègrent prime de risque, demande de couverture et choix de modèle. La racine d’une variance implicite attendue n’est pas nécessairement l’espérance de la volatilité future.

Un spread calendaire ne réplique pas automatiquement la variance forward. Delta, gamma, vega et risque d’échéance restent liés aux strikes ; un même nombre de contrats ne neutralise pas ces sensibilités. Exercice, assignation, marge et coûts comptent. Un future VIX porte par ailleurs sur le niveau futur de l’indice et sa fenêtre suivante, pas sur l’une des deux volatilités spot de cet exemple.

Une procédure de vérification en cinq étapes

1. Dater les fenêtres. Noter cotation, règlement des échéances et heure de l’annonce ; déterminer les périodes qui la contiennent.
2. Aligner les définitions. Même sous-jacent, spécifications et annualisation ; distinguer variance véritable et approximation ATM.
3. Réconcilier les variances. La courte période plus le résidu doit reconstituer la longue ; séparer pourcentages et décimales.
4. Tester les fourchettes exécutables. Recalculer autour des bid/ask. Deux échéances proches amplifient l’erreur de cotation par leur faible différence de durée.
5. Revaloriser la position. Stresser cours, deux surfaces, temps et report d’annonce, avec coûts de sortie, financement et assignation ; définir quand l’hypothèse cesse de tenir.

Le bon résultat est une carte datée de la variance tarifée. Il reste à vérifier que l’instrument choisi donne effectivement accès à la fenêtre de risque recherchée.