تحدب السندات: متى لا تكفي المدة المعدّلة؟

لا تكون تقديرات المدة مفيدة إلا إذا بقي خطؤها ضمن الهامش المقبول للقرار. ففي السندات الطويلة قد يغير الفارق حجم المركز أو مدى التزامه بحدود المخاطر. يصحح التحدب انحناء العلاقة بين السعر والعائد، لكنه لا يجعل التقدير دقيقاً لكل صدمة كبيرة، ولا يلغي مخاطر تغير شكل منحنى العائد.

صدمة بمقدار 200 نقطة أساس تكشف الفارق

لنفترض سنداً صفري القسيمة يدفع 100 بعد 20 عاماً بالضبط. إذا كان عائده حتى الاستحقاق 4% بمضاعفة سنوية، فسعره 100÷1.04²⁰＝45.6387. لا توجد دفعات وسيطة أو خيارات مضمّنة، والتدفق النقدي ثابت. نفترض عدم مرور الزمن ونستبعد الضرائب والتداول والتمويل والعملات. المطلوب إعادة تسعير فورية، وليس توقع عائد الاحتفاظ لسنة.

بعد توحيد القيمة السوقية الحالية عند 100، يعطي انخفاض العائد إلى 2% قيمة دقيقة قدرها 147.46، أي مكسب 47.46%. أما المدة وحدها فتعطي 138.46. وعند ارتفاع العائد إلى 6% تكون القيمة الدقيقة 68.32 مقابل تقدير 61.54. يقع منحنى السعر فوق المماس، لذلك يقلل التقريب الخطي من المكسب ويبالغ في الخسارة.

توحيد المقاييس قبل استخدام المعادلة

المدة المعدّلة D＝20÷1.04＝19.2308، والتحدب C＝20×21÷1.04²＝388.3136. تقريب تغير السعر النسبي هو ΔP/P ≈ −D×Δy＋½C×Δy². تُكتب حركة 100 نقطة أساس بصيغة 0.01، لا 1 أو 100. لا يجوز إحلال مدة ماكولي أو المدة الفعالة محل المدة المعدّلة دون التحقق من التعريف وطريقة القياس.

القيمة الموحّدة الدقيقة تساوي 100×[1.04÷(1.04＋Δy)]²⁰. لا يتغير في الجدول سوى العائد؛ والأرقام قيم وليست نسب ربح. نطرح 100 للحصول على التغير المئوي.

عند −200 نقطة أساس، يرفع تصحيح التحدب التقدير إلى 146.23، لكنه يبقى أقل من القيمة الدقيقة بـ1.23 نقطة قيمة. وعند +200 يعطي 69.30، أعلى بنحو 0.98 نقطة. تبقى آثار الدرجات الأعلى، كما يختلف الخطأ بين صدمتين متساويتين في الحجم ومتعاكستين في الاتجاه.

اختيار عتبة التقييم الكامل من هامش الخطأ

إذا كان الخطأ المقبول 0.10% من القيمة السوقية الحالية، فإن اختبار ½C×Δy²＝0.001 يعطي حركة تقارب 22.69 نقطة أساس. هذه ليست حدوداً رياضية مضمونة للخطأ، بل إشارة إلى ضرورة إعادة تسعير التدفق كاملاً قرب هذا المستوى. انتظار عتبة عامة قدرها 100 نقطة أساس لا يلائم هذا السند.

حتى عند ±25 نقطة أساس يبلغ خطأ المدة نحو 0.12 نقطة قيمة؛ ولمركز قيمته مليون يعادل ذلك قرابة 1,200 من عملة التقييم. تُختبر الحدود بالأرقام غير المدوّرة، ويُحسب حد مختلف لسند ذي تحدب مختلف. يوضح دليل FastBull حول حساب DV01 تحويل الحساسية من الدرجة الأولى إلى مبلغ نقدي. الحساسية وخطأ التقريب مفهومان مختلفان، لكن ينبغي مقارنتهما بالحدود بالعملة نفسها.

المدة المتساوية لا تعني الحماية المتساوية

قارن سند العشرين عاماً بمحفظة توزّع قيمتها السوقية الأولية بالتساوي بين سندين صفريي القسيمة لأجل 10 و30 عاماً، بعائد أولي 4% لكل منهما. تبقى المدة المعدّلة 19.2308، لكن تحدب المحفظة يبلغ 480.7692. أمام انتقال متوازٍ وفوري بمقدار 100 نقطة أساس، تبلغ المساهمة الإضافية من الدرجة الثانية ½×(480.7692−388.3136)×0.01²، أي نحو 0.46% من القيمة الأولية.

ليست هذه أرباحاً مجانية. إذا انخفض عائد العشر سنوات إلى 3% وارتفع عائد الثلاثين إلى 5%، بينما بقي عائد العشرين عند 4%، تصبح قيمة المحفظة 50×(1.04/1.03)¹⁰＋50×(1.04/1.05)³⁰＝92.59. أما سند العشرين فيبقى عند 100. تغير شكل المنحنى على نحو غير مواتٍ تجاوز فائدة التحدب الأعلى. كما تتطلب المقارنة الواقعية فحص الائتمان والسيولة والتمويل والسعر المدفوع مقابل التدفقات.

إعادة تقييم الأداة المملوكة فعلاً

ابدأ بتاريخ التسوية ومواعيد الدفع وتواتر القسائم والسعر الكامل شاملاً الفائدة المستحقة. طابق طريقة مضاعفة العائد مع التدفقات؛ فلا تُدخل مؤشرات نصف سنوية مباشرة في هذا المثال السنوي. احسب السعر للصدمتين الصاعدة والهابطة، وسجل الفرق نقداً وكنسبة من القيمة الأولية. وللمحفظة، اختبر عقد المنحنى كل واحدة على حدة أيضاً.

قد تتغير تدفقات السندات القابلة للاستدعاء والأوراق المدعومة برهون عقارية عندما تهبط الفائدة. فالاسترداد أو إعادة التمويل يحدان من ارتفاع السعر، وقد يظهر تحدب سالب في بعض النطاقات. يلزم حينها نموذج يعكس الخيارات وتغير التدفقات. وأخيراً، افصل تغير السعر الفوري عن القسائم اللاحقة وإعادة الاستثمار والتمويل ومرور الزمن. معيار صلاحية المنهج هو التزامه بهامش الخطأ في السيناريوهات المهمة.