Коэффициент хеджирования: сколько фьючерсов снижает риск?

Портфель акций стоимостью 10 млн долларов не обязательно лучше всего защищать продажей фьючерсов ровно на 10 млн. Акции могут колебаться сильнее выбранного контракта и не полностью повторять его движение. Более того, позиция, удачно работавшая раньше, способна увеличить риск после изменения корреляции.

Поэтому нужно совместить три расчёта: число контрактов, риск после хеджирования и потребность в деньгах для расчётов по фьючерсам. Коэффициент минимальной дисперсии помогает с первым вопросом, но не заменяет проверку двух остальных.

Сначала определяем единицы измерения

Пусть V — начальная стоимость акций, а h — начальный номинал проданных фьючерсов, делённый на V. Положительное h здесь означает короткую позицию. rP — доходность портфеля; rF — изменение котировки фьючерса относительно начальной котировки, а не доходность на внесённое гарантийное обеспечение.

rH = rP − h × rF

rH выражает суммарный результат в долях начальной стоимости акций. В однопериодной модели число акций и контрактов постоянно, внешних вводов и выводов денег и ребалансировок нет. Комиссии, финансирование и налоги пока исключены, но должны учитываться при оценке исполнения.

Если σP и σF — стандартные отклонения за одинаковый горизонт, а ρ — корреляция синхронизированных доходностей, то:

σH² = σP² + h²σF² − 2hρσPσF
h* = Cov(rP, rF) / Var(rF) = ρ × σP / σF

Вторая формула минимизирует первую. Это оценка чувствительности, связанная с бетой и остаточным риском, а не обещание будущей компенсации. В регрессии доходность портфеля должна быть зависимой переменной, доходность фьючерса — объясняющей; нужна и константа. Перестановка переменных с последующим обращением коэффициента обычно не даёт тот же ответ. Бета к спотовому индексу также не обязательно равна коэффициенту к конкретному фьючерсному контракту.

Почему получается 48 контрактов вместо 40

Возьмём учебные, а не текущие рыночные значения: портфель 10 млн долларов, месячная волатильность 6%, волатильность фьючерса 4%, корреляция 0,80. Котировка — 5 000 пунктов, стоимость пункта — 50 долларов. Номинал одного контракта равен 250 000 долларов.

h* = 0.80 × 6% / 4% = 1.20
N = 1.20 × 10,000,000 / (5,000 × 50) = 48

Минимум дисперсии достигается при продаже 48 контрактов. Простое равенство номиналов потребовало бы 40. Разница возникает из характера колебаний, а не размера обеспечения. В таблице волатильности 6% и 4% неизменны; меняются только корреляция и h.

При корреляции 0,80 сохраняется 36% исходной дисперсии: 1 − 0.80² = 0.36. Дисперсия сокращается на 64%, а стандартное отклонение — на 40%, с 6% до 3,60%. Это не означает устранение 80% риска или ограничение месячного убытка уровнем 3,60%.

У хеджа с равным номиналом волатильность составляет около 3,69%. Преимущество 3,60% невелико: дополнительные спреды, оборот и стоимость денег способны его перекрыть. Оптимальность относится к заданной функции дисперсии и параметрам, а не ко всем возможным ограничениям.

Когда старый хедж становится хуже отсутствия хеджа

Снизим корреляцию до 0,20, сохранив волатильности. При прежних 48 контрактах h остаётся 1,20, но месячная волатильность достигает 6,89% — выше исходных 6%. Новый минимальный коэффициент равен 0,30, то есть 12 контрактам, а остаточная волатильность — 5,88%.

Для фиксированного положительного h хедж снижает дисперсию только при условии:

ρ > hσF / (2σP)

В нашем примере граница — 0,40. На ней улучшения нет, ниже неё прежняя позиция добавляет дисперсию. Это не универсальный сигнал закрытия: при изменении соотношения волатильностей меняется и граница.

Падение скользящей корреляции может объясняться не только экономикой, но и короткой выборкой, устаревшими ценами или разным временем закрытия рынков. Сначала следует отделить изменение связи от ошибки измерения. Отрицательная ковариация способна дать в модели без ограничений рекомендацию по знаку в пользу длинной позиции во фьючерсе. Механическая продажа похожего по названию инструмента может оказаться неверной даже по направлению.

Проверка за пределами обучающей выборки

Данные должны соответствовать реальным активам, валюте оценки и сроку защиты. Нужно скорректировать внешние денежные потоки и корпоративные действия, согласовать время цен. Дневная оценка не автоматически применима к месяцу: автокорреляция, состав портфеля и поведение базиса могут отличаться.

Фьючерсный ряд должен отражать торгуемый контракт и правила перехода между сроками. Искусственный скачок при склейке нескорректированного непрерывного графика нельзя считать доходностью одного удерживаемого контракта. Переходы и расходы учитывают отдельно. Если товарный хедж оценивают по денежным изменениям цены, а не процентным доходностям, единицы коэффициента иные: число контрактов рассчитывают через физические объёмы и размер контракта.

Коэффициент оценивают на одном интервале, фиксируют и проверяют на следующем. Сравнивают колебания результата без хеджа, с равным номиналом и с расчётным коэффициентом. Проверять несколько экономически осмысленных окон полезно; выбирать задним числом единственное лучшее — нет. Отраслевая концентрация, приобретения компаний и валютные изменения могут сделать историю нерепрезентативной.

Если число контрактов дробное, сравнивают соседние целые значения: фактический h, остаточный риск, комиссии, спреды и финансирование. Минимальная дисперсия не равна максимальной ожидаемой доходности: короткие фьючерсы уменьшают и прибыль при росте. Сам расчёт не доказывает соответствие требованиям учёта хеджирования.

Общая прибыль не заменяет денежную ликвидность

Если при 48 проданных контрактах котировка поднимается с 5 000 до 5 400, совокупные расчётные потери составят 48 × 400 × 50 = 960,000 долларов. Отдельно предположим рост акций на 12%: нереализованная прибыль — 1,2 млн долларов, общий результат — плюс 240 000 до расходов.

Тем не менее для расчётов по фьючерсам нужны 960 000 долларов. Бумажная прибыль по акциям не превращается автоматически в деньги. Сумма не включает начальное обеспечение, возможное увеличение требований к залогу и финансирование. Более сильный промежуточный рост с последующим откатом может потребовать ещё больше ликвидности.

1. Зафиксировать активы, валюту и срок защиты.
2. Описать синхронизированные данные, окно оценки, знак и единицы h.
3. Сравнить целые числа контрактов и остаточный риск с простыми альтернативами.
4. Проверить слабую корреляцию, другие волатильности и отдельный шок портфеля.
5. Подготовить деньги для расчётов, залога и выполнимого сокращения позиции.

Только согласованность этих пяти пунктов превращает число контрактов в рабочее решение. Точный коэффициент не исправляет неподходящий инструмент и не оплачивает требования по марже.