Почему корзина доллара растёт при падении USD/JPY: как считать эффективный курс

Индекс доллара может расти, когда USD/JPY падает. Противоречия нет: индекс объединяет несколько двусторонних курсов, а USD/JPY измеряет только доллар против иены. Направление корзины зависит от состава валют, веса каждой из них и способа объединения изменений.

Прежде чем описывать силу доллара через индекс, определите конкретный ряд. Важны состав корзины, период действия весов, направление котировок и номинальное либо реальное определение. Все курсы и веса ниже придуманы для расчёта. Они не воспроизводят опубликованный индекс или текущее движение рынка и позволяют проверить механизм, не принимая учебный пример за торговый сигнал.

Эффективный курс отвечает на более широкий вопрос, чем отдельная пара

Двусторонний курс сравнивает две валюты. Эффективный курс объединяет стоимость рассматриваемой валюты относительно определённой группы других валют. Банк Англии объясняет, что индексы обычно строятся как взвешенные геометрические средние; выбор валют и весов связан с целью измерения и отражаемыми торговыми связями. Разные корзины не обязаны давать одинаковый результат.

Номинальный эффективный курс использует валютные курсы. Реальный дополнительно учитывает относительные цены: Банк международных расчётов корректирует свои номинальные индексы на относительные потребительские цены. Рост этих показателей БМР означает укрепление — номинальное или реальное в зависимости от ряда. Расчёт только номинального движения не является расчётом реального. Проверяйте определение, а не используйте названия как взаимозаменяемые.

Индекс также не равен автоматически доходности портфеля с вложенным капиталом. Статистический торговый вес не предписывает направлять такую же долю средств счёта в валютную сделку. Исполнимые цены покупки и продажи, финансирование, издержки и ребалансировка потребовали бы отдельного инвестиционного расчёта.

Сначала приведите все котировки к одному направлению

В этой модели силы доллара e означает число единиц иностранной валюты за один доллар США. Рост e означает, что доллар покупает больше этой валюты. Начальные и конечные наблюдения должны относиться к одинаковым моментам для всех трёх компонентов. Курсы с четырьмя знаками после точки — условные аналитические данные, а не котировки покупки и продажи, по которым можно совершить сделку.

Доллар укрепляется к евро на 5%, к фунту на 3%, но слабеет к иене на 4%. Строка иены соответствует USD/JPY: курс меняется со 150.0000 до 144.0000. Евро и фунт намеренно записаны в евро и фунтах за доллар, то есть в направлении, обратном привычным парам EUR/USD и GBP/USD.

Чтобы получить строку евро из EUR/USD, сначала обратите оба наблюдения, затем рассчитайте отношение. Здесь обратные котировки равны 1/0.9000 и 1/0.9450 доллара за евро. Их отношение конечного значения к начальному составляет 1/1.05, примерно 0.952381, а не 1.05. Смешивая его с правильно направленными отношениями иены и фунта, вы меняете задачу внутри вычисления. Подробнее об этом — в материале, объясняющем различие процентных изменений прямой и обратной валютных котировок.

Не усредняйте и исходные уровни курсов. Котировка иены около 150 и евро около 0.9 измеряются в разных единицах; величина числа не определяет экономическую важность компонента. Сопоставимы безразмерные отношения конечного курса к начальному. Веса задаются отдельно.

Взвешенное произведение — не простая средняя процентных изменений

Обозначим rᵢ = eᵢ,₁/eᵢ,₀, а неотрицательные веса wᵢ пусть дают в сумме 1. Для одного интервала с постоянными весами модель имеет вид I₁ = I₀×∏rᵢ^wᵢ. Опубликованная методика долларовых индексов Федеральной резервной системы использует такую геометрическую структуру, выражая цену доллара в иностранной валюте. Наши три валюты лишь иллюстрируют расчёт, а не воспроизводят официальный состав.

Корзина A присваивает евро, иене и фунту веса 0.50, 0.30 и 0.20. Множитель равен 1.05^0.50×0.96^0.30×1.03^0.20 = 1.0182243166. Из начальных 100 получается 101.8224317, то есть рост на 1.8224317%. Корзина повышается, хотя USD/JPY падает на 4%: взвешенное укрепление доллара к другим компонентам перевешивает его ослабление к иене.

Взвешенная арифметическая средняя трёх процентных изменений даёт 0.50×5% + 0.30×(−4%) + 0.20×3% = 1.900%. Это другой расчёт, не точный геометрический результат. Разница примерно в 0.0775683 процентного пункта не является комиссией или потерянной доходностью. При малых движениях арифметическая средняя может служить приближением, но не должна незаметно заменять заявленную формулу.

Для проверки используйте логарифмы: ln(I₁/I₀) = Σwᵢ ln(rᵢ). Три слагаемых A равны примерно 0.02439508, −0.01224660 и 0.00591176. Их сумма — 0.01806024; применение экспоненты даёт указанный множитель. Это логарифмические вклады, а не обычные вклады в процентных пунктах. Неокруглённая сумма, умноженная на 100, даёт около 1.8060244%, а не обычное изменение 1.8224317%. Последнее рассчитывается как 100×(exp(сумма логарифмов)−1).

Формула требует положительных курсов и полного набора компонентов за один интервал. Отсутствующее или устаревшее наблюдение не означает, что валюта не изменилась. Обратная котировка, иной момент наблюдения или подменённый вес могут изменить ответ при совершенно правильной арифметике.

Одни и те же курсы могут дать противоположные направления при других весах

Сохраните все курсы из первой таблицы, но задайте корзине B веса евро, иены и фунта 0.20, 0.60 и 0.20. Множитель станет 1.05^0.20×0.96^0.60×1.03^0.20 = 0.9912154086. Индекс снижается со 100 до 99.1215409, или на 0.8784591%. Ослабление доллара к иене теперь имеет больший вес и перевешивает остальные положительные движения.

A и B применяют разные веса к одинаковым валютным изменениям. Противоположные знаки не доказывают ошибку одного из расчётов. Это два альтернативных определения для одного интервала, а не инструкция менять веса посередине исторического ряда. Для воспроизведения опубликованного индекса нужны веса соответствующих периодов и метод сцепления составителя. Применение сегодняшних весов ко всему прошлому создаёт другой ряд.

Третья строка выполняет другую операцию: умножает все уровни A на 1.2. Начало становится равным 120, конец — 122.1869180, а рост остаётся 1.8224317%. Единое масштабирование всего ряда меняет отображаемые уровни, но не процентное движение между двумя моментами.

БМР отдельно указывает, что значение выше или ниже 100 само по себе не доказывает переоценённость или недооценённость валюты. Уровень относится к выбранной базе. Сравнение 122 на одной базе со 102 на другой не означает, что первая валюта дороже. Даже при общей базе индекс измеряет относительное изменение, а не справедливую стоимость.

Отделяйте реальное различие корзин от ошибки во входных данных

Объяснение через корзину подтверждается, если совпадают наблюдения и интервалы, веса документированы и суммируются до 1, а взвешенные произведения воспроизводят результаты. A и B проходят эту проверку: курсы одинаковы, меняются лишь веса. Ослабление доллара к иене на 4% остаётся верным при обоих определениях.

Ошибка направления создаёт другой результат по другой причине. Если в A ошибочно взять обратное отношение евро 1/1.05 и оставить два остальных без изменений, расчётный уровень составит примерно 96.9737444 вместо 101.8224317. Такое кажущееся падение не подтверждает общее ослабление доллара. Оно возникает из смешения долларов за евро с иностранными валютами за доллар.

Другие расхождения требуют той же дисциплины. Среднемесячный индекс и валютная пара на закрытие одного дня не охватывают одинаковое окно наблюдения. Номинальный и скорректированный на инфляцию индексы отвечают на разные вопросы. Пересмотр весов или исходных данных может менять историю. Прежде чем объяснять любую разницу расхождением рынков, проверьте определения и версии данных.

Согласуйте определения и только затем трактуйте изменение индекса

Запишите полное название индекса, рассматриваемую валюту, номинальное или реальное определение, базу, частоту наблюдений и действующую версию весов. Перечислите единицы котировок и согласуйте начальные и конечные моменты. Если конкретный ряд или интервал неизвестен, предполагаемое противоречие ещё нельзя проверить.

Приведите котировки к одному направлению, найдите отношения конечных значений к начальным, проверьте сумму весов и пересчитайте произведение по неокруглённым входным данным. Округляйте только отображаемый результат. Три строки второй таблицы должны дать +1.822%, −0.878% и +1.822% при трёх знаках после точки. Сохраняйте большую точность промежуточных вычислений, чтобы не накапливать лишние погрешности.

В заключении ограничьтесь тем, что действительно подтверждает сравнение. Рост корзины устанавливает укрепление против этого взвешенного набора за данный интервал. Он не устанавливает рост против каждой валюты, скорое движение отдельной пары или достижимую торговую доходность. Для решения по конкретной паре возвращайтесь к её собственным ценам, количествам и условиям исполнения, а не заменяйте их заголовком об индексе.