Дельта-нейтральность: гамма и цена хеджирования

Вчера дельту портфеля свели к нулю, а сегодня он показывает убыток. Сам по себе этот факт не доказывает ошибку хеджирования. Дельта-нейтральность означает компенсацию воздействия первого порядка при небольшом движении базового актива — на конкретный момент и в рамках выбранной модели. Она не фиксирует цену опциона.

Проверять нужно не слово «нейтральный», а оставшиеся риски: кривизну зависимости цены, течение времени, волатильность и стоимость корректировок. Числовой пример позволяет отделить локальный хедж от обещания неизменной прибыли.

Сначала переведите дельту в количество акций

Дельта измеряет локальную чувствительность цены опциона к базовому активу, гамма — изменение самой дельты. Акции могут компенсировать дельту, но не имеют опционной гаммы. У купленного обычного колла или пута гамма положительная, у проданного — отрицательная. В портфеле величины суммируют с учётом количества и направления позиций.

Возьмём условный европейский колл: акция и страйк равны 100, до исполнения 30 календарных дней, годовая волатильность 20%, ставка и дивиденды нулевые. Модель Блэка—Шоулза с годом в 365 дней даёт цену около 2,2872 на акцию, дельту 0,511436, гамму 0,069548, дневную тету −0,038109 и вегу 0,114326 на один процентный пункт волатильности.

Пусть куплены десять контрактов с множителем 100 — всего 1000 опционных единиц. Начальный хедж требует короткой позиции примерно в 511,436 акции. Множитель принят для примера, а не для всех рынков. Модель допускает дробные акции и пока исключает финансирование, заём бумаг и торговые издержки. Реальная кратность сделки оставит риск округления.

Движение цены меняет необходимый хедж

Если акция мгновенно вырастет на 2 при неизменных времени и волатильности, локальная оценка прироста дельты составит 1000 × 0,069548 × 2 = 139,10 акции. Первоначальный шорт уже недостаточен. Для возврата к нейтральности потребовалось бы продать ещё примерно 139 акций, предварительно пересчитав чувствительности.

При снижении цены положительная гамма, напротив, требует выкупить часть короткой позиции. Продажа после роста и покупка после падения выглядят выгодно, но выпуклость оплачена опционной премией. В данном случае покупатель несёт временной распад, а каждая корректировка требует пересечения спреда.

Начальная гамма не постоянна на большом движении. Рядом со страйком перед экспирацией чувствительности могут меняться резко. Ценовой разрыв способен перескочить несколько запланированных уровней хеджирования до исполнения заявки.

Прибыль от кривизны должна покрыть стоимость времени

Оставим исходный хедж неизменным на один календарный день. До исполнения останется 29 дней, волатильность — 20%. Локальная оценка результата: 1000 × [½ × гамма × квадрат изменения цены + дневная тета]. Линейный член дельты обнулился, остальные сохранились.

Суммы выражены в условных денежных единицах до издержек. Последний столбец складывает изменение пересчитанной стоимости колла и результат исходной короткой позиции в акциях. Это полный расчёт внутри заданной модели, а не гарантированная котировка исполнения. Изменение гаммы и эффекты более высоких порядков объясняют асимметрию роста и падения.

Даже рост на 1 оставляет убыток: выгоды от кривизны недостаточно для покрытия одного дня распада. Локальный безубыточный модуль движения равен примерно 1,047 по формуле √(−2 × дневная тета ÷ гамма). Число относится только к одному дню, фиксированному хеджу и неизменной волатильности. Это не универсальный торговый порог и не безубыточная реализованная волатильность динамической стратегии.

Волатильность способна перевернуть результат

Пусть за тот же день акция выросла на 2, но подразумеваемая волатильность упала с 20% до 18%. Это два процентных пункта, а не относительные 2%. Начальная вега даёт дополнительный убыток 1000 × 0,114326 × 2 = 228,65. Сумма локальных членов: 100,99 − 228,65 = −127,66.

Полный пересчёт модели показывает около −112,18. Разница содержательна: конечные изменения цены, срока и волатильности взаимодействуют, тогда как приближение сохраняет исходные чувствительности. Нельзя выдавать его за точный прогноз рыночной переоценки.

Акции не нейтрализуют вегу. В реальном портфеле важны также перекос волатильности, разные сроки, дивиденды и возможность досрочного исполнения. Денежные потоки в паритете пут—колл тоже показывают, почему финансирование и условия контракта нельзя исключать из сравнения.

Частая корректировка может уменьшить чистую прибыль

Чем чаще обновляется хедж, тем меньше времени портфель живёт со старой дельтой, но тем выше оборот. В отдельном примере суммарный абсолютный объём покупок и продаж равен 800 акциям, а условные полные издержки исполнения — 0,03 на акцию. Получается 24: прибыль до затрат 20 превращается в −4. Каждую покупку и продажу учитывают один раз; затраты внутри спреда повторно не вычитают. Заём акций и финансирование добавляются отдельно.

Корректировка по времени, по диапазону дельты и по событиям — разные правила. Их сравнивают на одной ценовой траектории с одинаковыми спредами и проскальзыванием. Использование будущей свечи или постоянного исполнения по середине спреда не доказывает достижимую прибыль.

При отрицательной гамме давление обратное: покупать после роста, продавать после падения. Временной распад может помогать продавцу обычного опциона, но крупное движение перекрывает этот доход. Открытый интерес не показывает сам по себе, кто держит каждую сторону, поэтому не устанавливает знак совокупной гаммы дилеров.

Что зафиксировать при проверке нейтральности

Запишите актив, стиль исполнения, расчёты, срок, множитель, направление позиции и доступные цены сделок. Переведите дельту в единицы базового актива и сверьте с акциями или фьючерсами хеджа, отдельно отметив базис и округление. Уточните порядок учёта календарных дней для теты и единицу веги.

Проверьте рост, падение и неизменную цену, затем совместные изменения времени и волатильности. Крупные шоки требуют полной переоценки. Сопоставьте результат с реальными спредами, проскальзыванием, финансированием и займом бумаг. Заранее определите, когда устаревшая модель, разрыв цены или нехватка ликвидности делают план неработоспособным.

Корректный вывод ограничен: в этот момент и при этих данных чувствительность первого порядка была близка к нулю. Из него не следует, что портфель не может потерять деньги.