Премия за риск дисперсии: чем прогноз отличается от прибыли продавца

На графике историческая волатильность составляет 15,87%, а уровень, соответствующий цене будущей дисперсии, — 20%. Соблазнительный вывод: продавец получает разницу. Однако прошлое наблюдение, прогноз будущего и итоговый денежный результат — три разные величины. Между ними нет автоматического перехода. Даже возврат базового актива к исходной цене не защищает продавца дисперсии от крупного убытка.

Проверить рассуждение можно без текущих котировок: достаточно задать правила измерения, денежный масштаб позиции и явную модель будущего. Ниже все цены, вероятности и затраты условны. Это разбор механизма, а не описание доступного сегодня контракта.

Почему разница с прошлым не равна премии за будущий риск

Пусть за прошедшие 20 дней наблюдались десять пар логарифмических доходностей +0,01 и −0,01. Сумма их квадратов равна 0,0020. При 252 торговых днях в году получаем 252 пункта годовой дисперсии и историческую волатильность √252 = 15,874508%. Последняя характеризует уже состоявшийся путь, а не ещё неизвестный следующий период.

Уровень 20% в единицах дисперсии равен 20² = 400 пунктам. Разность 400 − 252 составляет 148 пунктов дисперсии. Если вычесть сами волатильности, получится около 4,125492 процентного пункта. Эти числа измеряют разные объекты; ни одно из них само по себе не является денежной прибылью или полученной премией.

148 пунктов можно назвать оценкой будущей премии лишь после дополнительного допущения: прошлая дисперсия 252 служит прогнозом следующего окна. Такой прогноз допустимо проверить, но график его не доказывает. Дата события, изменение режима и вероятность резких движений могут сделать его непригодным. Важно записать допущение до появления будущих данных, а не выбрать удобный показатель задним числом.

Что именно означает премия и за какие единицы платят

Здесь используется положительная для продавца конвенция: VRP = E^Q[будущая RV] − E^P[будущая RV]. Q обозначает веса, применяемые при ценообразовании; P — вероятности статистического прогноза реальных исходов. Это не обозначения роста и падения рынка. Ожидание по P нельзя непосредственно считать с экрана: оно зависит от модели и доступной на момент прогноза информации.

Если K — сопоставимый уровень цены дисперсии, K минус прогноз RV даёт модельную оценку премии. Равенство K ожиданию по Q требует идеализированных условий контракта с нулевой начальной стоимостью; реальные условия финансирования, обеспечения и исполнения могут потребовать поправок. Поэтому нельзя без проверки подставлять волатильность одного опциона около денег или квадрат VIX вместо исполнимого K.

В нашем примере все наблюдения ещё впереди. Из 21 ежедневной цены получаются 20 доходностей rᵢ = ln(Pᵢ/Pᵢ₋₁), выраженных в долях единицы. Расчёт: RV = 10 000 × (252/20) × Σrᵢ². Среднее не вычитается, знаменатель 19 не используется. Это заданное правило выплаты, а не оценка выборочной дисперсии с поправкой на число степеней свободы.

Примем K = 400 и совокупную позицию 100 USD на пункт дисперсии. При нулевой ставке, без кредитных поправок и пока без затрат валовой результат продавца в конце периода равен 100 × (400 − RV). У покупателя знак обратный. 100 USD на пункт — размер условной позиции, не внесённый капитал и не утверждение о множителе конкретного биржевого контракта. Рассчитывать на этой базе процентную доходность капитала нельзя.

Цена вернулась к 100, но денежные результаты противоположны

Построим два будущих пути. В A повторяются десять пар +0,01/−0,01. В B первые 18 доходностей такие же, но последние две равны −0,08 и +0,08. Оба пути начинаются с цены 100, на день 18 также находятся на 100 и завершаются на 100. Для B обычные процентные изменения последних дней составляют примерно −7,688365% и +8,328707%: это не падение на 8% с последующим ростом на 8%.

Проверка B: 10 000 × (252/20) × [18 × 0,01² + 2 × 0,08²] = 1 839,6 пункта. Поэтому продавец получает 100 × (400 − 1 839,6) = −143 960 USD. В A результат равен +14 800 USD. Возврат цены не уничтожает уже накопленные квадраты доходностей: у двух разнонаправленных движений положительный вклад в дисперсию.

Измеряются только заданные дневные значения. Внутридневной размах в формулу не входит, поэтому заменить ежедневные наблюдения максимумами и минимумами нельзя. A и B иллюстрируют два результата дисперсии, а не задают полный безарбитражный процесс цены с двумя возможными траекториями. По ним нельзя восстановить рыночные вероятности Q.

Одна история, два прогноза и смена знака ожидания

Теперь отдельно зададим распределение именно будущей дисперсии: 252 пункта с вероятностью 1 − q и 1 839,6 пункта с вероятностью q. q — открыто выбранная переменная чувствительности, а не частота, надёжно оценённая по прошлым 20 дням. Прогноз равен 252 + 1 587,6q, а разность K и прогноза — 148 − 1 587,6q.

При q = 5% ожидаемый валовой результат можно проверить двумя способами: 100 × 68,62 = 6 862 USD либо 0,95 × 14 800 + 0,05 × (−143 960) = 6 862 USD. При q = 10% ожидание уже отрицательно: −1 076 USD. Прошлые наблюдения и K не изменились; изменилась только оценка будущего риска. Сравнение 20% с 15,87% этой перемены не обнаруживает.

Положительное ожидание не превращает результат +6 862 USD в третий возможный денежный исход. В модели остаются два реализованных результата; ожидаемая сумма — их взвешенное среднее. Аналогично √E[RV] не равно E[√RV]. Корень из прогнозируемой дисперсии нельзя автоматически подписывать как ожидаемую волатильность.

Где заканчивается положительное ожидание

Валовой результат в среднем положителен при q < 148/1 587,6, то есть примерно 9,322247%. На границе ожидание равно нулю. Если условные совокупные затраты составляют 1 000 USD, это эквивалентно 10 пунктам при нашей позиции. Тогда требуется q < (148 − 10)/1 587,6 = 8,692366%. Это не тариф площадки и не универсальная граница допустимого риска.

После этих затрат при q = 5% остаётся +5 862 USD ожидаемого результата, а при q = 10% — −2 076 USD. При этом даже первая модель допускает реализацию валового убытка −143 960 USD. При включении тех же затрат он станет −144 960 USD. Более сильный стресс или другая котировка K меняют границу валового результата. Простое увеличение положительного денежного масштаба её не сдвигает; при фиксированных затратах 1 000 USD отношение затрат к масштабу влияет на границу чистого результата.

Практический вопрос поэтому не сводится к точечной оценке q. Нужно выяснить, насколько устойчив знак ожидаемого результата при разумном диапазоне вероятностей и величины стрессового исхода. Изменение q перемещает прогноз относительно границы, а не меняет саму границу. Один прибыльный период не подтверждает наличие устойчивой премии; один убыток не опровергает положительное долгосрочное ожидание. Ошибку отдельного наблюдения надо отличать от систематической ошибки прогноза.

Какие подмены делают верный расчёт неприменимым

Сопоставлять надо одну и ту же будущую часть времени. Если сроки разные, сначала требуется согласовать окна наблюдения через форвардную дисперсию. Если часть контракта уже прошла, накопленная дисперсия известна, а неопределённость относится только к остатку; это не исходная ситуация данного примера. Фиксинги, пропуски цен, конечное значение и порядок действий при нарушении торгов определяются конкретными условиями.

Продажа одного опциона, стрэддла или портфеля с дельта-хеджированием не даёт автоматически выплату 100 × (400 − RV). В таких позициях имеют значение направленность, гамма, дискретность ребалансировки и издержки хеджирования. Даже при верной терминальной оценке промежуточные требования по обеспечению и вариационной марже могут создать отдельную потребность в деньгах. Наш расчёт её не моделирует.

Наконец, средняя котировка не обещает исполнения. Цена нужной стороны рынка, объём позиции и общие расходы должны соответствовать реальному инструменту. Иначе исследовательская оценка премии и денежный результат сделки будут отвечать на разные вопросы.

Пять проверок перед выводом о премии

1. Зафиксировать инструмент, начальную и конечную даты, все наблюдения и правила окончательного расчёта. Не смешивать доступный график с договорным определением.
2. Привести доходности, годовой коэффициент и пункты дисперсии к одной системе единиц. Отдельно проверить множитель денежных выплат.
3. Разделить прошлую статистику и будущий прогноз; сохранить входные данные и допущения так, как они были известны в момент оценки.
4. Пересчитать результат по исполнимой цене, масштабу и затратам. Проверить чувствительность к вероятности и силе стрессового исхода, а также промежуточную потребность в средствах.
5. После окна сверить реализованную дисперсию с денежным расчётом и проверять прогнозы на последовательных вневыборочных периодах, не подставляя будущие данные задним числом.

Если эти проверки не пройдены, корректный вывод — «прогноз ещё не обоснован», а не «премия гарантирована». Содержательная оценка объясняет не только положительную цифру, но и конкретные условия, при которых она перестаёт быть положительной.