USD/JPY cai 10%: por que o iene sobe 11,11%, e não 10%?

Se o USD/JPY passa de 150 para 135, o dólar perde 10% em relação ao iene. No mesmo intervalo, porém, o iene ganha 11,11% em relação ao dólar. Os dois números estão corretos: cada cotação mede uma moeda pela outra, e a base de cálculo do percentual muda.

A diferença não é um lucro extra nem uma oportunidade de arbitragem. Ela ajuda a entender por que o desempenho de um saldo em moeda estrangeira não coincide necessariamente com a variação mostrada no gráfico. Os preços e valores a seguir são hipotéticos, sem juros ou despesas, exceto pelo diferencial de compra e venda incluído expressamente.

Antes do percentual, confira a unidade da cotação

USD/JPY a 150 significa 150 ienes por dólar. Na direção oposta, JPY/USD corresponde a 1/150 dólar por iene. Quando o USD/JPY chega a 135, cada iene passa a valer 1/135 dólar. O dólar compra menos ienes; o iene compra mais dólares.

A variação direta é 135/150 − 1 = −10%. A inversa é (1/135)/(1/150) − 1 = 150/135 − 1 = +11,11%. Trocar apenas o sinal do primeiro percentual não produz o segundo cálculo, porque mantém uma base que já não corresponde à moeda avaliada.

Inverta o fator, não apenas o sinal

Considere Q como a quantidade da moeda de cotação por unidade da moeda base, com valores inicial Q0 e final Q1 positivos. O retorno simples é r = Q1/Q0 − 1. Para a cotação inversa, s = Q0/Q1 − 1; portanto, s = −r/(1+r) e (1+r)(1+s) = 1. Na fórmula, −10% deve entrar como −0,10.

Uma queda de 20% na cotação corresponde a uma alta de 25% em sua inversa. A aproximação s ≈ −r funciona melhor para oscilações muito pequenas, mas não é uma igualdade. Quanto maior o movimento, maior o desvio; na conciliação de valores em dinheiro, o caminho correto é refazer a razão.

Também não se deve confundir a inversão das moedas com a passagem do tempo. Cair 10% e depois subir 10% leva 150 a 148,5: 150 × 0,90 × 1,10. Para voltar de 135 a 150, a alta necessária é de 11,11%. A mudança de denominador explica ambos os casos, mas as comparações são diferentes.

Confira o percentual pelo caminho do dinheiro

Uma pessoa converte 10.000 dólares à taxa de 150 e recebe 1.500.000 ienes. Mantém esse saldo sem juros e depois o reconverte a dólares à taxa de 135. O valor final é de 11.111,11 dólares, equivalente a um retorno de 11,11% sobre os 10.000 iniciais. Esse resultado acompanha a valorização do iene em dólares, não a queda de 10% do USD/JPY.

O exemplo usa recursos próprios para uma conversão integral de dinheiro; não representa uma posição vendida alavancada. Um contrato pode apurar o resultado em ienes e convertê-lo para a moeda da conta por regras específicas. O retorno ainda pode ser medido sobre o patrimônio da conta ou sobre a margem depositada. Multiplicar a margem por 11,11% não permite deduzir o lucro da posição.

Por isso, todo percentual precisa de três referências: qual ativo foi mantido, em que moeda o resultado é medido e qual capital inicial está no denominador. A variação da cotação não revela, sozinha, o efeito do financiamento, da alavancagem ou dos fluxos da conta.

Na conversão efetiva, compra e venda não usam o mesmo preço

Suponha uma cotação de compra/venda de 150,00/150,04 no início e de 135,00/135,04 no fim. Ao vender dólares, o cliente recebe o preço de compra do intermediário, 150,00. Ao recomprar dólares com os ienes, paga o preço de venda, 135,04. Assim, 1.500.000/135,04 = 11.107,82 dólares, um retorno aproximado de 11,0782% antes de cobranças separadas.

A diferença de 3,29 dólares em relação ao cálculo sem diferencial já está embutida nos preços utilizados. Descontar novamente esse mesmo diferencial seria contar o custo duas vezes. Comissões cobradas à parte, outras tarifas de conversão e juros do saldo precisam ser registrados separadamente.

Ao inverter uma cotação com dois preços, os lados também se trocam: compra inversa = 1/venda original; venda inversa = 1/compra original. A direção dessas operações pode ser conferida em o cálculo de taxas cruzadas e de cotações inversas de compra e venda. Uma taxa de referência ou o ponto médio do gráfico permite comparar preços, mas não garante que a conversão esteja disponível naquele nível.

O retorno logarítmico é simétrico, mas não é o retorno em dinheiro

Para taxas medidas pelo mesmo critério, o retorno logarítmico é ln(Q1/Q0). Na cotação inversa, ele é ln(Q0/Q1), exatamente o seu oposto. Essa propriedade é útil para padronizar o sentido das moedas em estudos ou somar variações de períodos consecutivos.

Ela não torna simétricos os retornos simples. Se o retorno logarítmico é g, o retorno simples é exp(g) − 1. Apresentar g diretamente como percentual ganho sobre o capital da conta mistura medidas distintas. Padronizar a direção dos pares também não resolve diferenças nos horários de observação ou nas moedas usadas como referência.

Um roteiro para conciliar duas medidas de retorno

Primeiro, escreva a unidade de cada taxa —por exemplo, ienes por dólar— e alinhe os horários, as datas, a fonte e o critério de preço. Não misture uma série de preços de compra com outra de preços médios. Verifique se o produto e a janela de comparação são os mesmos.

Depois, calcule Q1/Q0 e seu inverso antes de subtrair um. Em cotações rigorosamente recíprocas, o produto dos fatores deve ser um. Se não for, procure arredondamentos, datas trocadas, lados de compra/venda misturados ou instrumentos diferentes. Mantenha a precisão nas contas intermediárias e arredonde apenas para apresentar o resultado.

Por fim, se a pergunta é quanto o dinheiro efetivamente rendeu, reconstrua as conversões com os preços executados, comissões, juros e regras de liquidação. Neste exemplo, sem aportes ou retiradas durante o período, o resultado líquido é dividido pelo capital inicial. Se houver entradas ou saídas de recursos entre as duas datas, seus valores e momentos também precisam ser considerados na medição do retorno. Saltos de preço e alavancagem alteram o resultado da conta, mas não a identidade matemática entre duas taxas positivas inversas.