ドル円が10%下落すると、円の対ドル上昇率はなぜ11.11%になる？

ドル円が150円から135円になれば、ドルの対円下落率は10%。ところが同じ期間の円の対ドル上昇率は11.11%になる。どちらも正しい。逆数表示では、変化率を計算する基準が変わるためだ。

単にマイナスをプラスに置き換えると、通貨の強弱比較や外貨残高の収益計算を誤る。この差は裁定利益ではない。以下の相場と金額はすべて仮定とし、明記したスプレッド以外の費用や利息は含めない。

まず「何通貨で何通貨を測るか」を確認する

USD/JPYが150とは、1ドルが150円という意味だ。逆数のJPY/USDは、1円が1/150ドルを表す。ドル円が135になると1円は1/135ドルになり、円で買えるドルは増える。

ドル円の変化率は135/150−1＝−10%。逆数の変化率は(1/135)/(1/150)−1＝150/135−1＝11.11%となる。同じ期間を見ていても、通貨単位と比較の分母が違う。値幅の符号だけを反転しても、この計算にはならない。

変化率ではなく、倍率を逆数にする

Qを、通貨ペア左側の通貨1単位を右側の通貨で表した数量とする。USD/JPYなら1ドル当たりの円の数量だ。開始時と終了時のQ0、Q1は正とする。通常の収益率r＝Q1/Q0−1に対し、逆数表示の収益率s＝Q0/Q1−1。したがってs＝−r/(1+r)で、(1+r)(1+s)＝1が成り立つ。−10%は−0.10として代入する。

元のレートが20%下がれば、逆数は25%上がる。変化が小さいと符号反転でも近い値になるが、厳密な関係ではない。大きな相場変動や現金の照合では差を無視できない。

通貨の表示を逆にすることと、時間を逆にたどることも区別したい。150から10%下がり、その後10%上がると148.5である。135から150へ戻るには11.11%の上昇が必要だ。同じ分母の問題でも、二つの表示を別々の連続取引とみなしてはいけない。

現金の両替で収益率を確かめる

仮に10,000ドルを150円で両替すると150万円になる。利息なしで円を保有し、135円でドルに戻すと11,111.11ドル。最初の10,000ドルに対する収益率は11.11%であり、円のドル建て上昇率に対応する。ドル円チャートの−10%をそのまま現金収益には使えない。

これは全額を資金で賄う両替の例で、レバレッジをかけた売りポジションの計算ではない。取引商品によって損益の決済通貨や換算方法は異なり、収益率の分母に純資産や証拠金を使う場合もある。11.11%を証拠金に掛けても、取引損益は求められない。

比較する前に、何を保有し、何通貨で評価し、どの初期資金で割るかを明示する。レートの変化だけから、口座の資金調達費用やレバレッジは分からない。

実際の両替では売買レートを使い分ける

開始時のドル円を150.00/150.04、終了時を135.00/135.04とする。最初にドルを売る際はBidの150.00、最後に円でドルを買う際はAskの135.04を使う。150万円/135.04＝11,107.82ドルとなり、別途費用を引く前の収益率は約11.0782%だ。

スプレッドなしの例との差3.29ドルは、既に約定価格へ織り込まれている。同じスプレッドを二重に費用控除しない。一方、別建ての手数料や保有通貨の利息は、現金収支に加える必要がある。

二本値を逆数にする場合は、BidとAskも入れ替える。逆数のBid＝1/元のAsk、逆数のAsk＝1/元のBidとなる。具体的な売買方向はクロスレートと逆数の売買レートの計算で確認できる。参考レートやチャートの仲値は価格比較には使えても、その価格での両替を保証しない。

対数収益率の対称性を現金損益と混同しない

同じ基準のレートで対数収益率を求めるとln(Q1/Q0)、逆数ではln(Q0/Q1)となり、符号が厳密に反転する。研究データの通貨方向をそろえたり、期間ごとの変化を合計したりする際に役立つ。

ただし対数収益率gから通常の収益率へ戻すにはexp(g)−1が必要だ。対数変化を口座資金の利益率として表示してはいけない。通貨ペアの向きをそろえるだけでは、異なる時刻や比較対象の通貨による差も解消しない。

数字を比較する前の確認手順

最初に各レートの単位を記し、開始・終了時刻、データの出所、Bid・Ask・仲値のどれを使ったかを合わせる。異なる価格系列を同じものとして扱わない。

次にQ1/Q0とその逆数を計算し、それぞれから1を引く。厳密な逆数なら、二つの倍率の積は1になる。一致しない場合は、丸め、日付の逆転、売買レートの混在、商品の違いを先に調べる。計算途中の精度は保ち、表示段階で丸める。

口座でいくら増えたかが知りたいなら、最後は実際の資金移動を再現する。約定価格、手数料、利息、契約の決済方法を反映し、定義した初期資金で割る。逆数の公式は価格の向きを直す道具であり、取引明細の代わりではない。