ドル円が下落してもドルの通貨バスケットが上昇する理由：実効為替レートの計算方法

ドルの通貨指数が上昇する一方、ドル円が下落することはあります。矛盾ではありません。指数は複数の通貨に対するドルの変化をまとめ、ドル円は円との関係だけを示すからです。バスケットの方向は、構成通貨、各通貨のウェイト、変化の集計方法によって決まります。

指数からドルの強弱を判断するには、まず何の系列を見ているのかを特定します。構成、ウェイトの適用期間、為替レートの表示方向、名目か実質かという定義が重要です。以下のレートとウェイトはすべて説明用の仮定であり、公表指数や現在の相場ではありません。計算例を現時点のドル相場のシグナルと混同せずに検算できます。

実効為替レートが測る範囲は一つの通貨ペアより広い

二国間の為替レートは二つの通貨を比較します。実効為替レートは、自国通貨の価値を一定の外国通貨群に対して集約したものです。イングランド銀行は、為替レート指数には一般に加重幾何平均が使われ、構成通貨とウェイトは目的や反映する貿易関係によって決まると説明しています。異なるバスケットが同じ答えを出す必要はありません。

名目実効為替レートは為替レートを使います。実質実効為替レートは相対物価も考慮し、BISは相対的な消費者物価で名目指数を調整しています。BISのこれらの指数は上昇が増価を示しますが、名目の変化だけを計算しても実質の変化を計算したことにはなりません。二つの名称を同義として扱わず、系列の定義を確認します。

指数は、資金を投じたポートフォリオの収益率とも自動的には一致しません。貿易に基づく統計上のウェイトは、口座資金をその割合で通貨取引に配分する指示ではありません。投資の成果を求めるには、実際に取引できる売買価格、資金調達、取引費用、リバランスを別に計算する必要があります。

変化率を求める前に、すべてのレートの向きをそろえる

このドルの強弱を測るモデルでは、eを1米ドル当たりの外国通貨の数量と定義します。eが上がれば、ドルで買える外国通貨が増えます。3通貨とも同じ開始時点と終了時点を使います。表の小数点以下4桁のレートは仮想の分析用入力値で、取引可能な売値・買値ではありません。

ドルはユーロに対して5%、英ポンドに対して3%上昇する一方、円に対して4%下落しています。円の行はドル円が150.0000から144.0000へ下がる例です。ユーロと英ポンドの行は、一般的なEUR/USDやGBP/USDとは逆に、1ドル当たりのユーロ数、ポンド数で表しています。

EUR/USDからユーロの行を作るなら、両時点の値の逆数を取ってから終了値を開始値で割ります。本例の逆向きのレートは1/0.9000と1/0.9450米ドル／ユーロです。その終了値／開始値は1/1.05、約0.952381であり、1.05ではありません。この逆向きの比率と正しい向きの円・ポンドの比率を混ぜると、計算の途中で測る対象が変わります。詳しくは為替の逆数表示では騰落率が異なる理由を参照してください。

レートの水準そのものを平均してはいけません。約150の円相場と約0.9のユーロ相場は単位が異なり、数字の大きさに経済的な重要性は表れていません。比較できるのは単位を持たない終了値／開始値の比率です。ウェイトはそれとは別に定めます。

単純な収益率平均ではなく、加重した比率の積を計算する

rᵢ＝eᵢ,₁/eᵢ,₀とし、ウェイトwᵢは非負で合計1とします。一期間の中でウェイトが固定なら、モデルはI₁＝I₀×∏rᵢ^wᵢです。米連邦準備制度の公表するドル指数の算定方法も、ドルを外国通貨で表示したレートに、この幾何的な変化の集計構造を使います。本例の3通貨は仕組みを示す簡略モデルであり、公式バスケットの再現ではありません。

バスケットAのユーロ、円、英ポンドのウェイトを0.50、0.30、0.20とします。変化の倍率は1.05^0.50×0.96^0.30×1.03^0.20＝1.0182243166です。100から始めると101.8224317となり、上昇率は1.8224317%です。ドル円が4%下落していても、ほかの構成通貨の加重後のプラス効果が円のマイナス効果を上回るため、バスケットは上昇します。

三つの変化率を単純に加重平均すると、0.50×5%＋0.30×(−4%)＋0.20×3%＝1.900%となります。これは別の計算で、正確な幾何加重の結果ではありません。約0.0775683パーセントポイントの差は手数料でも、計上漏れの収益でもありません。小幅な変化なら算術平均は大まかな近似になりますが、定義された指数の式を無断で置き換えることはできません。

検算には自然対数も使えます。ln(I₁/I₀)＝Σwᵢ ln(rᵢ)です。Aの3項は約0.02439508、−0.01224660、0.00591176、合計は0.01806024です。その指数関数を取ると上記の倍率が得られます。各項は対数への寄与であり、通常の収益率へのパーセントポイント寄与ではありません。丸め前の対数合計を100倍すると約1.8060244%で、通常の上昇率1.8224317%とは異なります。通常の上昇率は100×(exp(対数合計)−1)で変換します。

この式には、正のレートと、同一期間について欠落のない構成データが必要です。欠損や古いレートを、その通貨が変化しなかったものとして扱ってはいけません。表示方向の反転、時点の不一致、別のウェイトへの置換は、算術が正しくても結果を変えます。

同じ相場でもウェイトが違えば指数の方向は逆になる

最初の表のレートをすべて据え置き、バスケットBのユーロ、円、英ポンドのウェイトだけを0.20、0.60、0.20にします。倍率は1.05^0.20×0.96^0.60×1.03^0.20＝0.9912154086です。100から99.1215409へ下がり、変化率は−0.8784591%となります。円に対する下落が大きなウェイトを持つことで、ほかの上昇を上回ります。

AとBは、同一の通貨変動に異なるウェイトを適用した二つの定義です。符号が逆でも、どちらかの計算が間違っている証拠にはなりません。また、一つの歴史的系列の途中でウェイトを勝手に切り替える例でもありません。公表指数では各期間に適用されるウェイトと作成主体の接続方法を使います。現在のウェイトを過去にさかのぼって適用するなら、別の系列を作っていることを区別する必要があります。

3行目は別の操作です。バスケットAのすべての水準を1.2倍しています。開始値は120、終了値は122.1869180ですが、上昇率は1.8224317%のままです。同じ系列全体を一定倍率で拡大しても、表示水準が変わるだけで、二時点間の騰落率は変わりません。

BISは、指数が100を上回る、または下回ることだけで、通貨の過大評価・過小評価は判断できないと明記しています。水準は基準との関係で決まります。ある基準の122と別の基準の102を比べても、前者の通貨が割高とはいえません。基準が共通でも、指数は相対的な変化の尺度であり、適正価値のモデルではありません。

バスケットの違いと入力ミスを切り分ける

構成レートとその期間が一致し、ウェイトの根拠が明らかで合計1となり、加重積で結果を再現できるなら、差をバスケットの違いで説明できます。本例のAとBはこの条件を満たします。レートは同一で、変えるのはウェイトだけです。どちらでも、ドルが円に対して4%下落した事実は変わりません。

表示方向の誤りによる差は別です。Aのユーロ比率だけを誤って1/1.05とし、ほかの2通貨をそのままにすると、計算上の終了値は101.8224317ではなく約96.9737444になります。この見かけの下落は、ドル全体が弱い証拠ではありません。1ユーロ当たりのドルと1ドル当たりの外国通貨を混ぜた結果です。

ほかの不一致も定義から確認します。月中平均の指数と、ある日の終値の通貨ペアでは観測期間が異なります。名目指数と物価調整後の指数は異なる問いに答えます。ウェイトや基礎データの改定で過去の系列が変わる場合もあります。定義とデータの版を確かめる前に、すべての差を市場の動きの乖離と説明しないことが重要です。

指数の動きを読む前に定義をそろえる

指数の正式名称、対象通貨、名目・実質の区別、基準、観測頻度、適用ウェイトの版を記録します。次に各構成レートの単位を確認し、開始・終了時点をそろえます。系列や期間を特定できなければ、矛盾しているかどうかはまだ検証できません。

表示方向を統一し、終了値／開始値を計算し、ウェイトの合計が1か確認してから、丸め前の入力で積を求めます。丸めるのは表示する結果だけです。本例の2番目の表は、小数点以下3桁で順に＋1.822%、−0.878%、＋1.822%となるはずです。途中の計算は十分な桁数を残し、繰り返しの丸めによる誤差を避けます。

最後に、比較から何がいえるのかを限定します。バスケットの上昇が示すのは、その期間、そのウェイトのバスケットに対する増価です。すべての構成通貨に対する上昇、特定ペアの次の動き、実現できる取引収益は示しません。一つの通貨ペアについて判断するなら、指数の見出しで代用せず、そのペアの価格、数量、約定条件に戻る必要があります。